Jak można pokazać, że nie ma obiektywnego estymatora dla rozkładu Poissona ze średnią ?

Załóżmy, że to zmienne losowe idące wzdłuż rozkładu Poissona ze średnią . Jak mogę udowodnić, że nie ma obiektywnego oszacowania ilości ? $X_{0},X_{1},\ldots,X_{n}$ $\lambda$ $\dfrac{1}{\lambda}$

probability poisson-distribution unbiased-estimator estimators iid billlee1231
źródło

Zakładam, że masz na myśli „lambda”? W każdym razie nie jest to właściwe dla MO.

Czy to dla jakiegoś przedmiotu? Wygląda jak dość standardowe ćwiczenie z podręcznika. Sprawdź self-studytag i informacje o wiki tagu i dodaj tag (lub podaj wskazówki, jak inaczej powstaje takie pytanie). Pamiętaj, że takie pytania, choć mile widziane, nakładają na ciebie pewne wymagania (i ograniczenia na nas). Czego próbowałeś?

Glen_b

Powinieneś być w stanie użyć argumentu podobnego do tego tutaj .

Glen_b

Odpowiedzi:

Załóżmy, że jest obiektywnym estymatorem , to znaczy Następnie pomnożenie przez i wywołanie serii MacLaurin możemy zapisać równość jako $g(X_0, \ldots, X_n)$ $1/\lambda$

\sum_{(x_{0}, \dots, x_{n}) \in N_{0}^{n + 1}} g (x_{0}, \dots, x_{n}) \frac{λ^{\sum_{i = 0}^{n} x_{i}}}{\prod_{i = 0}^{n} x_{i}!} e^{- (n + 1) λ} = \frac{1}{λ}, \forall λ > 0.

$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} g(x_0, \ldots, x_n) \frac{\lambda^{\sum_{i=0}^n x_i}}{\prod_{i=0}^n x_i!} e^{-(n + 1) \lambda} = \frac{1}{\lambda}, \quad \forall \lambda > 0.$

λ e^{(n + 1) λ}

$\lambda e^{(n + 1) \lambda}$

e^{(n + 1) λ}

$e^{(n + 1) \lambda}$

\sum_{(x_{0}, \dots, x_{n}) \in N_{0}^{n + 1}} \frac{g (x_{0}, \dots, x_{n})}{\prod_{i = 0}^{n} x_{i}!} λ^{1 + \sum_{i = 0}^{n} x_{i}} = 1 + (n + 1) λ + \frac{(n + 1)^{2} λ^{2}}{2} + \dots, \forall λ > 0,

$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} \frac{g(x_0, \ldots, x_n)}{\prod_{i=0}^n x_i!} \lambda^{1 + \sum_{i=0}^n x_i} = 1 + (n + 1)\lambda + \frac{(n + 1)^2 \lambda^2}{2} + \ldots , \quad \forall \lambda > 0,$ gdzie mamy równość dwóch szeregów mocy, z których jedna ma stały wyraz (prawa strona), a druga nie: sprzeczność. Dlatego nie istnieje żaden obiektywny estymator.

J. Virta
źródło