Jestem zdezorientowany w stosowaniu oczekiwań w mianowniku.
czy może być ?
expected-value
Shan
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Nie, generalnie nie może; Nierówność Jensena mówi nam, że jeśli jest zmienną losową, a φ jest funkcją wypukłą, to φ ( E [ X ] ) ≤ E [ φ ( X ) ] . Jeśli X jest ściśle dodatni, wówczas 1 / X jest wypukły, więc E [ 1 / X ] ≥ 1 / E [ X ] , a dla funkcji ściśle wypukłej równość występuje tylko wtedy, gdy XX φ φ(E[X])≤E[φ(X)] X 1/X E[1/X]≥1/E[X] X ma zerową wariancję ... więc w przypadkach, w których zwykle jesteśmy zainteresowani, oba są generalnie nierówne.
Zakładając, że mamy do czynienia ze zmienną dodatnią, jeśli jest dla ciebie jasne, że i 1 / X będą odwrotnie powiązane ( Cov ( X , 1 / X ) ≤ 0 ), oznacza to, że E ( X ⋅ 1 / X ) - E ( X ) E ( 1 / X ) ≤ 0, co implikuje E ( X ) E ( 1 / X ) ≥X 1/X Cov(X,1/X)≤0 E(X⋅1/X)−E(X)E(1/X)≤0 , więc E ( 1 / X ) ≥ 1 / E ( X ) .E(X)E(1/X)≥1 E(1/X)≥1/E(X)
Korzystaj z prawa nieświadomego statystyki
(w przypadku ciągłym)
więc gdy ,E[1sol( X) = 1X E[1X]=∫∞−∞f(x)xdx
W niektórych przypadkach oczekiwanie może być ocenione przez inspekcję (np. Za pomocą zmiennych losowych gamma) lub przez wyprowadzenie rozkładu odwrotności lub za pomocą innych środków.
źródło
Jak mówi Glen_b, to prawdopodobnie źle, ponieważ odwrotność jest funkcją nieliniową. Jeśli chcesz uzyskać przybliżenie doE(1/X) być może możesz użyć rozszerzenia Taylora wokół E(X) :
EDYCJA: być może powyższe jest dość krytyczne, patrz komentarz BioXX poniżej.
źródło
Inni już wyjaśnili, że odpowiedź na to pytanie brzmi NIE, z wyjątkiem trywialnych przypadków. Poniżej podajemy podejście do znalezienia gdyX>0z prawdopodobieństwem jeden oraz funkcja generująca momentMX(t)=EetXistnieją. Zastosowanie tej metody (i uogólnienie) podano wOczekiwanej wartości1/x,gdyxnastępuje po rozkładzie Beta, podamy tutaj również prostszy przykład.E1X X>0 MX(t)=EetX 1/x x
Najpierw zwróć uwagę, że (proste ćwiczenie rachunku różniczkowego). Następnie napisz E(1∫∞0e−txdt=1x
źródło
An alternative approach to calculatingE(1/X) knowing X is a positive random variable is through its moment generating function E[e−λX] .
Since by elementary calculas
źródło
To first give an intuition, what about using the discrete case in finite sample to illustrate thatE(1/X)≠1/E(X) (putting aside cases such as E(X)=0 )?
In finite sample, using the term average for expectation is not that abusive, thus if one has on the one hand
and one has on the other hand
it becomes obvious that, withN>1 ,
Which leads to say that, basically,E(1/X)≠1/E(X) since the inverse of the (discrete) sum is not the (discrete) sum of inverses.
Analogously in the asymptotic0 -centered continuous case, one has
źródło