Jak obliczyć parametr regularyzacji w regresji grzbietu przy danych stopniach swobody i macierzy wejściowej?

Niech A będzie macierzą $n \times p$ zmiennych niezależnych, a B będzie odpowiadającą macierzą wartości zależnych. Regresję kalenicy, że określenie parametrów tak, że: . Teraz pozwól [usv] = svd (A) i ukośny wpis „s”. definiujemy stopnie swobody (df) = . Regresja grzbietu zmniejsza współczynniki składników o niskiej wariancji, a zatem parametr kontroluje stopnie swobody, więc dla$n \times 1$$\lambda$$\beta=(A^\mathrm{T}A+\lambda I)^{-1}A^\mathrm{T}B$$d_{i}=i^{th}$$\sum_{i=1}^{n} \frac{(d_{i})^2}{(d_{i})^2+\lambda}$$\lambda$$\lambda=0$, co ma miejsce w przypadku regresji normalnej, df = n, a zatem zostaną uwzględnione wszystkie zmienne niezależne. Problem, przed którym stoję, polega na znalezieniu wartości „df” i macierzy „s”. Próbowałem zmienić powyższe równanie, ale nie otrzymałem rozwiązania w formie zamkniętej. Podaj wszelkie pomocne wskazówki.$\lambda$

Byłby do tego odpowiedni algorytm Newton-Raphson / Fisher-score / Taylor-series.

Masz równanie do rozwiązania dla h ( λ ) = p ∑ i = 1 d 2 $\lambda$ z pochodną ∂

$$h(\lambda)=\sum_{i=1}^{p}\frac{d_{i}^{2}}{d_{i}^{2}+\lambda}-df=0$$ Otrzymujesz: h(λ)≈h(λ(0))+(λ-λ(0))∂ $$\frac{\partial h}{\partial \lambda}=-\sum_{i=1}^{p}\frac{d_{i}^{2}}{(d_{i}^{2}+\lambda)^{2}}$$ $$h(\lambda)\approx h(\lambda^{(0)})+(\lambda-\lambda^{(0)})\frac{\partial h}{\partial \lambda}|_{\lambda=\lambda^{(0)}}=0$$

przearanżowanie dla otrzymujesz: λ = λ ( 0 ) - [ ∂ $\lambda$

$$\lambda=\lambda^{(0)}-\left[\frac{\partial h}{\partial \lambda}|_{\lambda=\lambda^{(0)}}\right]^{-1}h(\lambda^{(0)})$$ $d^{2}_{i}=1$$\lambda^{(0)}=\frac{p-df}{df}$

$$\lambda^{(j+1)}=\lambda^{(j)}+\left[\sum_{i=1}^{p}\frac{d_{i}^{2}}{(d_{i}^{2}+\lambda^{(j)})^{2}}\right]^{-1}\left[\sum_{i=1}^{p}\frac{d_{i}^{2}}{d_{i}^{2}+\lambda^{(j)}}-df\right]$$

$\lambda$$\lambda$

Oto mały kod Matlab oparty na formule udowodnionej logiką prawdopodobieństwa:

function [lamda] = calculate_labda(Xnormalised,df)
    [n,p] = size(Xnormalised);   

    %Finding SVD of data
    [u s v]=svd(Xnormalised);
    Di=diag(s);
    Dsq=Di.^2;

    %Newton-rapson method to solve for lamda
    lamdaPrev=(p-df)/df;
    lamdaCur=Inf;%random large value
    diff=lamdaCur-lamdaPrev;   
    threshold=eps(class(XstdArray));    
    while (diff>threshold)          
        numerator=(sum(Dsq ./ (Dsq+lamdaPrev))-df);        
        denominator=sum(Dsq./((Dsq+lamdaPrev).^2));        
        lamdaCur=lamdaPrev+(numerator/denominator);        
        diff=lamdaCur-lamdaPrev;        
        lamdaPrev=lamdaCur;        
    end
    lamda=lamdaCur;
end