Powiązania pomiędzy

Powiedzmy, że mam dwie tablice 1-wymiarowe, $a_1$ i $a_2$ . Każdy zawiera 100 punktów danych. 1 jest rzeczywiste dane i 2 jest przewidywania modelu. W tym przypadku, R 2 wartość będzie: R 2 = 1 - S S r e s$a_1$$a_2$$R^2$

$$R^2 = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}} \quad\quad\quad\quad\quad\ \ \quad\quad(1).$$ W międzyczasie byłoby to równe wartości kwadratowej współczynnika korelacji, $$R^2 = (\text{Correlation Coefficient})^2 \quad (2).$$ Teraz, jeśli mogę zamienić dwa: 2 jest rzeczywiste dane, a 1 jest przewidywania modelu. Z równania ( 2 ) , ponieważ współczynnik korelacji nie zależy, który pochodzi pierwsze, R 2 wartość będzie taka sama. Jednak z równania ( 1 ) , S S t o t = ∑ i ( y i - ˉ y ) 2 , wartość R 2 ulegnie zmianie, ponieważ S S$a_2$$a_1$$(2)$$R^2$$(1)$$SS_{tot}=\sum_i(y_i - \bar y )^2$$R^2$$SS_{tot}$ zmieniła się, jeżeli przełącznik$y$z 1 do 2 ; w międzyczasieS S r e s = ∑ i ( f i - ˉ y ) 2 nie zmienia się.$a_1$$a_2$$SS_{res}=\sum_i(f_i-\bar y)^2$

Moje pytanie brzmi: w jaki sposób mogą się one ze sobą sprzeczne?

Edytuj :

1. Zastanawiałem się, czy będzie relacja w równaniu. (2) nadal stoją, jeśli nie jest to prosta regresja liniowa, tj. Związek między IV i DV nie jest liniowy (może być wykładniczy / log)?

2. Czy ta relacja nadal będzie obowiązywać, jeśli suma błędów prognozowania nie będzie równa zero?

To prawda, że zmieni się ... ale zapomniałeś, że zmieni się również regresja sumy kwadratów. Rozważmy więc prosty model regresji i oznaczmy współczynnik korelacji jako r 2 x y = S 2 x $SS_{tot}$ , gdzie użyłem subindeksuxy,aby podkreślić fakt, żexjest zmienną niezależną, ayjest zmienną zależną. Oczywiście,r2 x y pozostaje niezmienione, jeśli zamieniszx zapomocąy. Możemy łatwo pokazać, żeSSRxy=Syy(R2 x y ), gdzieSSRxyjest sumą regresji kwadratów i $r_{xy}^2=\dfrac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}}$$xy$$x$$y$$r_{xy}^2$$x$$y$$SSR_{xy}=S_{yy}(R_{xy}^2)$$SSR_{xy}$ jest całkowitą sumą kwadratów, gdzie x jest niezależny, a y jest zmienną zależną. Dlatego: R 2 x y = S S R x $S_{yy}$$x$$y$gdzieSSExyjest odpowiednią resztkową sumą kwadratów, gdziexjest niezależny, ayjest zmienną zależną. Zauważ, że w tym przypadku mamySSExy=b2 x y Sxxzb=Sx

$$R_{xy}^2=\dfrac{SSR_{xy}}{S_{yy}}=\dfrac{S_{yy}-SSE_{xy}}{S_{yy}},$$ $SSE_{xy}$$x$$y$$SSE_{xy}=b^2_{xy}S_{xx}$ (patrz np. Równanie (34) - (41)tutaj.) Dlatego:R2 x y =Syy- S 2 x $b=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$Oczywiście powyższe równanie jest symetryczna względemxiy. Innymi słowy:R2 x y =R2 y x . Podsumowując po zmianieXzYw prostym modelu regresji zarówno licznik, jak i mianownikR2 x Y =SSRx $$R_{xy}^2=\dfrac{S_{yy}-\dfrac{S^2_{xy}}{S^2_{xx}}.S_{xx}}{S_{yy}}=\dfrac{S_{yy}S_{xx}-S^2_{xy}}{S_{xx}.S_{yy}}.$$ $x$$y$ $$R_{xy}^2=R_{yx}^2.$$ $x$$y$ zmieni się w taki sposób, żeR2 x y =R2 y x$R_{xy}^2=\dfrac{SSR_{xy}}{S_{yy}}$$R_{xy}^2=R_{yx}^2.$

$R^{2}$$y_{i}$$\hat{y}_{i}$

Pełny dowód na to, jak uzyskać współczynnik determinacji R2 z kwadratowego współczynnika korelacji Pearsona między wartościami obserwowanymi yi a wartościami dopasowanymi y ^ i można znaleźć pod następującym linkiem:

http://economictheoryblog.wordpress.com/2014/11/05/proof/

Moim zdaniem powinno to być dość łatwe do zrozumienia, wystarczy wykonać pojedyncze kroki. Wydaje mi się, że patrząc na to, konieczne jest zrozumienie, w jaki sposób naprawdę działa relacja między dwiema kluczowymi postaciami.

$R^2 = r^2 = Corr(x,y)^2$

$$R^2 = Corr(y_{estimated},y_{observed})^2$$

Kwadrat korelacji między odpowiedzią a dopasowanym modelem liniowym.

$r$$r^2$

$r$$Y$$X$$X$$Y$$r$$.30$

$r^2$$r^2 = (\frac {cov}{\sigma_x \sigma_y})^2 = \frac {|cov|} {\sigma_x^2} \frac {|cov|} {\sigma_y^2}$$r^2$$\sqrt{prop*prop}$$r$

$cov$$\sigma_x^2$$\sigma_y^2$$cov$$cov$$\sigma_x^2$$\sigma_y^2$$\sigma_x \sigma_y$$r^2$$r$

$r$$r^2$$Y\text~X$$X\text~Y$

$R^2=r^2$$R^2$

x=rnorm(1000); y=rnorm(1000)              # store random data
summary(lm(y~x))                          # fit a linear regression model (a)
summary(lm(x~y))                          # swap variables and fit the opposite model (b)
z=lm(y~x)$fitted.values; summary(lm(y~z)) # substitute predictions for IV in model (a)

$R^2$$R^2$

$R^2\ne r^2$$R^2$$r$$\rho$