Rozkład próbkowania promienia rozkładu normalnego 2D

Dwuwymiarowy rozkład normalny ze średnią i macierzą kowariancji można ponownie zapisać we współrzędnych biegunowych o promieniu kącie . Moje pytanie brzmi: jaki jest rozkład próbkowania , to znaczy odległość od punktu do szacowanego środka danej macierzy kowariancji próbki ?$\mu$$\Sigma$$r$$\theta$$\hat{r}$$x$$\bar{x}$$S$

Tło: Rzeczywista odległość od punktu oznacza, że zgodne z rozkładem Hoyta . W przypadku wartości własnych z i parametr parametru kształtu to , a jego parametrem skali jest . Wiadomo, że funkcja skumulowanego rozkładu jest różnicą symetryczną między dwiema funkcjami Q Marcum.$r$$x$$\mu$$\lambda_{1}, \lambda_{2}$$\Sigma$$\lambda_{1} > \lambda_{2}$$q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$$\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$

Symulacja sugeruje, że podłączenie szacunków i dla i do prawdziwego cdf działa dla dużych próbek, ale nie dla małych próbek. Poniższy schemat pokazuje wyniki z 200 razy$\bar{x}$$S$$\mu$$\Sigma$

• symulacja 20 wektorów normalnych 2D dla każdej kombinacji podanych ( oś), (wiersze) i kwantyl (kolumny)$q$$x$$\omega$
• dla każdej próbki, obliczając podany kwantyl obserwowanego promienia do$\hat{r}$$\bar{x}$
• Dla każdej próbki, obliczanie kwantylu od teoretycznej Hoyt (2D normalny) CDF, od teoretycznego Rayleigha CDF po podłączeniu Przykładowe wartości szacunkowych a .$\bar{x}$$S$

Gdy zbliża się do 1 (rozkład staje się kołowy), oszacowane kwantyle Hoyta zbliżają się do oszacowanych kwantyli Rayleigha, na które nie ma wpływu . Wraz ze wzrostem rośnie różnica między kwantylami empirycznymi a kwantylami szacowanymi, szczególnie w ogonie rozkładu.$q$$q$$\omega$

Jak wspomniałeś w swoim poście, znamy rozkład oszacowania jeśli otrzymamy więc znamy rozkład oszacowania prawdziwego .$\widehat{r_{true}}$$\mu$$\widehat{r^2_{true}}$$r^2$

Chcemy znaleźć rozkład gdzie są wyrażone jako wektory kolumnowe.

$$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$$ $x_i$

Teraz wykonujemy standardową lewę

$$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$$ gdzie wynika z równania i jego transpozycja.$(1)$ $$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$$

Zauważ, że jest śladem przykładowej macierzy kowariancji i zależy tylko od średniej próbki . Tak więc zapisaliśmy jako suma dwóch niezależne zmienne losowe. Znamy rozkłady i i dlatego wykonujemy standardową sztuczkę przy użyciu tego funkcje charakterystyczne są multiplikatywne.$\widehat{r^2}$$S$$(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$$\overline{x}$

$$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$$ $\widehat{r^2_{true}}$$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

Edytowano, aby dodać:

$||x_i-\mu||$jest Hoyt, więc ma pdf gdzie to zmodyfikowana funkcja Bessela pierwszego rodzaju .

$$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$$ $I_0$$0^{th}$

Oznacza to, że pdf to $||x_i-\mu||^2$

$$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$$

Aby ułatwić oznaczenie ustawione , i .$a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$$b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$$c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

Funkcja generująca moment to $||x_i-\mu||^2$

$$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$$

Tak więc funkcją generującą moment jest a funkcja generowania momentu is $\widehat{r^2_{true}}$

$$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$$ $||\overline{x} - \mu||^2$ $$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$$

Oznacza to, że funkcją generującą moment w jest $\widehat{r^2}$

$$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$$

Zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a daje, że ma pdf $\widehat{r^2}$

$$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$$