Łączenie prawdopodobieństw awarii jądrowych

Ostatnie wydarzenia w Japonii skłoniły mnie do przemyślenia następujących kwestii.

Instalacje nuklearne są zwykle zaprojektowane tak, aby ograniczyć ryzyko poważnych wypadków do „prawdopodobieństwa podstawy projektu”, na przykład 10E-6 / rok. To są kryteria dla jednego zakładu. Jednakże, gdy jest populacja setek reaktorów, w jaki sposób łączymy indywidualne prawdopodobieństwa poważnego wypadku? Wiem, że prawdopodobnie mógłbym to zbadać samodzielnie, ale po znalezieniu tej witryny jestem pewien, że jest ktoś, kto będzie w stanie dość łatwo odpowiedzieć na to pytanie. Dzięki

Aby odpowiedzieć na czyste pytanie probabilistyczne, które przedstawił J Presley, używając notacji Bayera (p = prawdopodobieństwo awarii elementu), prawdopodobieństwo co najmniej jeden element zawiedzie, wynosi 1-P (brak niepowodzenia) = 1- (1-p) ^ n. Ten rodzaj obliczeń jest powszechny w niezawodności systemu, gdy kilka komponentów jest połączonych równolegle, dzięki czemu system nadal działa, jeśli przynajmniej jeden element działa.

Nadal możesz używać tej formuły, nawet jeśli każdy element zakładu ma inne prawdopodobieństwo awarii (p_i). Formuła byłaby wówczas 1- (1-p_1) (1-p_2) ... (1-p_n).

Przed skonfigurowaniem analizy należy pamiętać o rzeczywistości związanej z obecną sytuacją.

Krach ten nie był bezpośrednio spowodowany trzęsieniem ziemi ani tsunami. Stało się tak z powodu braku zasilania rezerwowego. Gdyby mieli wystarczającą moc rezerwową, niezależnie od trzęsienia ziemi / tsunami, mogliby utrzymać bieżącą wodę chłodzącą i żadne z krachów nie miałoby miejsca. Zakład prawdopodobnie będzie już gotowy do pracy.

Japonia, z jakiegokolwiek powodu, ma dwie częstotliwości elektryczne (50 Hz i 60 Hz). I nie można uruchomić silnika 50 Hz przy częstotliwości 60 Hz lub odwrotnie. Tak więc, bez względu na to, jakiej częstotliwości używał / dostarczał zakład, jest to częstotliwość, której potrzebują do zasilania. Urządzenia „typu amerykańskiego” pracują z częstotliwością 60 Hz, a urządzenia „typu europejskiego” pracują z częstotliwością 50 Hz, dlatego należy pamiętać o tym, zapewniając alternatywne źródło zasilania.

Następnie roślina ta znajduje się w dość odległym górzystym obszarze. Do zasilania energią zewnętrzną wymagana jest DŁUGA linia energetyczna z innego obszaru (budowa wymaga dni / tygodni) lub duże generatory napędzane benzyną / olejem napędowym. Generatory te są na tyle ciężkie, że nie można w nich latać helikopterem. Wsiadanie ich może być również problemem, ponieważ drogi są zablokowane przed trzęsieniem ziemi / tsunami. Sprowadzenie ich statkiem jest opcją, ale zajmuje to również dni / tygodnie.

Podsumowując, analiza ryzyka dla tej rośliny sprowadza się do braku POWAŻNYCH (nie tylko jednej lub dwóch) warstw kopii zapasowych. A ponieważ ten reaktor jest „aktywnym projektem”, co oznacza, że ​​wymaga energii, aby zachować bezpieczeństwo, warstwy te nie są luksusem, są wymagane.

To jest stara roślina. Nowy zakład nie zostałby zaprojektowany w ten sposób.

Edycja (19.03.2011) ========================================== ====

J Presley: Odpowiedź na twoje pytanie wymaga krótkiego wyjaśnienia pojęć.

Jak powiedziałem w moim komentarzu, dla mnie jest to kwestia „kiedy”, a nie „jeśli”, i jako prymitywny model zasugerowałem dystrybucję / proces Poissona. Proces Poissona to seria zdarzeń, które dzieją się ze średnią szybkością w czasie (lub przestrzeni, lub innej miary). Te zdarzenia są od siebie niezależne i losowe (bez wzorów). Zdarzenia dzieją się pojedynczo (2 lub więcej zdarzeń nie dzieje się dokładnie w tym samym czasie). Zasadniczo jest to sytuacja dwumianowa („zdarzenie” lub „brak zdarzenia”), w której prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia jest stosunkowo niewielkie. Oto kilka linków:

http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_process

http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

Następnie dane. Oto lista wypadków nuklearnych od 1952 roku z poziomem INES:

http://en.wikipedia.org/wiki/Nuclear_and_radiation_ac wypadków

Naliczyłem 19 wypadków, 9 podaje poziom INES. Dla osób bez poziomu INES mogę jedynie założyć, że poziom jest poniżej poziomu 1, więc przypiszę im poziom 0.

Tak więc jednym ze sposobów oszacowania tego jest 19 wypadków w 59 lat (59 = 2011–1952). To 19/59 = 0,322 wg / rok. W przeliczeniu na wiek to 32,2 wypadków na 100 lat. Zakładając, że proces Poissona daje następujące wykresy.

Początkowo zasugerowałem rozkład logarytmiczny, gamma lub wykładniczy ze względu na powagę wypadków. Ponieważ jednak poziomy INES podano jako wartości dyskretne, rozkład musiałby być dyskretny. Sugerowałbym albo geometryczny, albo ujemny rozkład dwumianowy. Oto ich opisy:

http://en.wikipedia.org/wiki/Negative_binomial_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_distribution

Oba pasują do danych o tym samym, co nie jest bardzo dobre (wiele poziomów 0, jeden poziom 1, zero poziom 2 itp.).

 Fit for Negative Binomial Distribution

 Fitting of the distribution ' nbinom ' by maximum likelihood 
 Parameters : 
      estimate Std. Error
 size 0.460949  0.2583457
 mu   1.894553  0.7137625
 Loglikelihood:  -34.57827   AIC:  73.15655   BIC:  75.04543 
 Correlation matrix:
              size           mu
 size 1.0000000000 0.0001159958 
 mu   0.0001159958 1.0000000000

 #====================
 Fit for Geometric Distribution

 Fitting of the distribution ' geom ' by maximum likelihood 
 Parameters : 
       estimate Std. Error
 prob 0.3454545  0.0641182
 Loglikelihood:  -35.4523   AIC:  72.9046   BIC:  73.84904 

Rozkład geometryczny jest prostą funkcją jednego parametru, podczas gdy ujemny rozkład dwumianowy jest bardziej elastyczną funkcją dwóch parametrów. Wybrałbym elastyczność, a także podstawowe założenia, w jaki sposób uzyskano ujemny rozkład dwumianowy. Poniżej znajduje się wykres dopasowanego ujemnego rozkładu dwumianowego.

Poniżej znajduje się kod wszystkich tych rzeczy. Jeśli ktokolwiek znajdzie problem z moimi założeniami lub kodowaniem, nie bój się go wskazać. Sprawdziłem wyniki, ale nie miałem wystarczająco dużo czasu, żeby się nad tym zastanowić.

 library(fitdistrplus)

 #Generate the data for the Poisson plots
 x <- dpois(0:60, 32.2)
 y <- ppois(0:60, 32.2, lower.tail = FALSE)

 #Cram the Poisson Graphs into one plot
 par(pty="m", plt=c(0.1, 1, 0, 1), omd=c(0.1,0.9,0.1,0.9))
 par(mfrow = c(2, 1))

 #Plot the Probability Graph
 plot(x, type="n", main="", xlab="", ylab="", xaxt="n", yaxt="n")
 mtext(side=3, line=1, "Poisson Distribution Averaging 32.2 Nuclear Accidents Per Century", cex=1.1, font=2)
 xaxisdat <- seq(0, 60, 10)
 pardat <- par()
 yaxisdat <- seq(pardat$yaxp[1], pardat$yaxp[2], (pardat$yaxp[2]-pardat$yaxp[1])/pardat$yaxp[3])
 axis(2, at=yaxisdat, labels=paste(100*yaxisdat, "%", sep=""), las=2, padj=0.5, cex.axis=0.7, hadj=0.5, tcl=-0.3)
 mtext("Probability", 2, line=2.3)
 abline(h=yaxisdat, col="lightgray")
 abline(v=xaxisdat, col="lightgray")
 lines(x, type="h", lwd=3, col="blue")

 #Plot the Cumulative Probability Graph
 plot(y, type="n", main="", xlab="", ylab="", xaxt="n", yaxt="n")
 pardat <- par()
 yaxisdat <- seq(pardat$yaxp[1], pardat$yaxp[2], (pardat$yaxp[2]-pardat$yaxp[1])/pardat$yaxp[3])
 axis(2, at=yaxisdat, labels=paste(100*yaxisdat, "%", sep=""), las=2, padj=0.5, cex.axis=0.7, hadj=0.5, tcl=-0.3)
 mtext("Cumulative Probability", 2, line=2.3)
 abline(h=yaxisdat, col="lightgray")
 abline(v=xaxisdat, col="lightgray")
 lines(y, type="h", lwd=3, col="blue")

 axis(1, at=xaxisdat, padj=-2, cex.axis=0.7, hadj=0.5, tcl=-0.3)
 mtext("Number of Nuclear Accidents Per Century", 1, line=1)
 legend("topright", legend=c("99% Probability - 20 Accidents or More", " 1% Probability - 46 Accidents or More"), bg="white", cex=0.8)

 #Calculate the 1% and 99% values
 qpois(0.01, 32.2, lower.tail = FALSE)
 qpois(0.99, 32.2, lower.tail = FALSE)

 #Fit the Severity Data
 z <- c(rep(0,10), 1, rep(3,2), rep(4,3), rep(5,2), 7)
 zdis <- fitdist(z, "nbinom")
 plot(zdis, lwd=3, col="blue")
 summary(zdis)

Edytuj (03/20/2011) ========================================== ============

J Presley: Przepraszam, że nie mogłem tego wczoraj skończyć. Wiesz, jak to jest w weekendy, mnóstwo obowiązków.

Ostatnim krokiem w tym procesie jest skompletowanie symulacji za pomocą rozkładu Poissona w celu ustalenia, kiedy nastąpi zdarzenie, a następnie ujemnego rozkładu dwumianowego w celu ustalenia ważności zdarzenia. Możesz uruchomić 1000 zestawów „stuleci”, aby wygenerować 8 rozkładów prawdopodobieństwa dla zdarzeń od poziomu 0 do poziomu 7. Jeśli będę miał czas, mógłbym uruchomić symulację, ale na razie opis będzie musiał wystarczyć. Może ktoś to przeczyta. Po wykonaniu tej czynności otrzymasz „przypadek podstawowy”, w którym zakłada się, że wszystkie zdarzenia są NIEZALEŻNE.

Oczywiście następnym krokiem jest złagodzenie jednego lub więcej z powyższych założeń. Łatwo zacząć od rozwiązania Poisson Distribution. Zakłada, że ​​wszystkie zdarzenia są w 100% niezależne. Możesz to zmienić na wiele sposobów. Oto kilka linków do niejednorodnych dystrybucji Poissona:

http://www.math.wm.edu/~leemis/icrsa03.pdf

http://filebox.vt.edu/users/pasupath/papers/nonhompoisson_streams.pdf

Ten sam pomysł dotyczy ujemnego rozkładu dwumianowego. Ta kombinacja poprowadzi cię różnymi ścieżkami. Oto kilka przykładów:

http://surveillance.r-forge.r-project.org/

http://www.m-hikari.com/ijcms-2010/45-48-2010/buligaIJCMS45-48-2010.pdf

http://www.michaeltanphd.com/evtrm.pdf

Najważniejsze jest to, że zadałeś pytanie, gdzie odpowiedź zależy od tego, jak daleko chcesz ją zabrać. Domyślam się, że ktoś gdzieś otrzyma polecenie wygenerowania „odpowiedzi” i będzie zaskoczony, ile czasu zajmuje wykonanie pracy.

Edytuj (21.03.2011) ========================================== ==========

Miałem okazję spoliczkować wyżej wspomnianą symulację. Wyniki są przedstawione poniżej. Z pierwotnego rozkładu Poissona symulacja zapewnia osiem rozkładów Poissona, po jednym dla każdego poziomu INES. Wraz ze wzrostem poziomu dotkliwości (wzrost liczby poziomów INES) spada liczba oczekiwanych zdarzeń na stulecie. To może być prymitywny model, ale jest to rozsądne miejsce do rozpoczęcia.

Podstawowa trudność związana z tym pytaniem polega na tym, że sytuacje, które były przewidywane, były na ogół planowane z zastosowaniem środków łagodzących. Co oznacza, że ​​sytuacja nie powinna nawet przerodzić się w poważny wypadek.

Poważne wypadki wynikają z nieprzewidzianych sytuacji. Co oznacza, że ​​nie możesz oszacować prawdopodobieństwa dla nich - są to twoje nieznane nieznane Rumsfeldian.

Założenie niepodległości jest oczywiście nieważne - pokazuje to Fukushima Daiichi. Elektrownie jądrowe mogą mieć awarie w trybie wspólnym. (tj. więcej niż jeden reaktor staje się niedostępny z powodu wspólnej przyczyny).

Chociaż prawdopodobieństw nie można obliczyć ilościowo, możemy poczynić pewne jakościowe twierdzenia o awariach w trybie wspólnym.

Na przykład: jeśli wszystkie instalacje są zbudowane według tego samego projektu, istnieje większe prawdopodobieństwo wystąpienia awarii w trybie wspólnym (na przykład znany problem z pęknięciami sprężarki w EPR / PWR)

Jeśli lokalizacje elektrowni mają wspólne podobieństwa geograficzne, istnieje większe prawdopodobieństwo wystąpienia awarii w trybie wspólnym: na przykład, jeśli wszystkie leżą na tej samej linii uskoku trzęsienia ziemi; lub jeśli wszystkie polegają na podobnych rzekach w obrębie jednej strefy klimatycznej do chłodzenia (gdy bardzo suche lato może spowodować, że wszystkie takie rośliny zostaną wyłączone).

Jak zauważyli komentatorzy, ma to bardzo silne założenie niezależności.

Niech będzie prawdopodobieństwo, że roślina wysadzi w powietrze $p$. Zatem prawdopodobieństwo, że roślina nie wysadzi w powietrze, jest$1-p$. To prawdopodobieństwo, że$n$ rośliny nie wysadzają $(1-p)^n$. Oczekiwana liczba wysadzonych roślin rocznie to$np$.

Jeśli jesteś zainteresowany: rozkład dwumianowy .