Czy „statystyka testowa” jest wartością czy zmienną losową?

Jestem teraz studentem pierwszego kursu statystyki. Jestem zdezorientowany terminem „statystyki testowe”.

Poniżej (widziałem to w niektórych podręcznikach), wydaje się być konkretną wartością obliczoną na podstawie konkretnej próbki. t = ¯ x - μ $t$

Jednak w dalszej części (widziałem to w niektórych innych podręcznikach) wydaje się zmienną losową. T = ¯ X - μ $T$

Czy zatem termin „statystyka testowa” oznacza określoną wartość, zmienną losową, czy obie te cechy ?

Krótka odpowiedź brzmi „tak”.

Tradycyjna notacja polega na użyciu dużej litery (T powyżej) do reprezentowania zmiennej losowej oraz małej litery (t) do reprezentowania określonej wartości obliczonej lub zaobserwowanej dla tej zmiennej losowej.

T jest zmienną losową, ponieważ reprezentuje wyniki obliczeń z próbki losowo wybranej. Po pobraniu próbki (a losowość się skończy) możesz obliczyć t, konkretną wartość i wyciągnąć wnioski na podstawie porównania t z rozkładem T.

Statystyka testowa jest więc zmienną losową, gdy myślimy o wszystkich wartościach, które mogłaby przyjąć na podstawie wszystkich różnych próbek, które mogliśmy zebrać. Ale po pobraniu pojedynczej próbki obliczamy określoną wartość statystyki testowej.

Statystyka testowa to statystyka stosowana przy podejmowaniu decyzji o hipotezie zerowej.

Statystyka jest wartością zrealizowaną (np. T): Statystyka to wartość liczbowa, która określa coś na temat próbki. Ponieważ statystyki służą do oszacowania wartości parametru populacji, same są wartościami. Ponieważ (wystarczająco długie) próbki są przez cały czas różne, statystyki (stwierdzenia liczbowe dotyczące próbek) będą się różnić. Rozkład prawdopodobieństwa statystyki uzyskanej z dużej liczby próbek pobranych z określonej populacji nazywa się jej rozkładem próbkowania --- rozkład tej statystyki, uważany za zmienną losową.

Statystyka to zmienna losowa (np. T): Statystyka to dowolna funkcja danych (niezmieniona od próbki do próbki). Dane są opisane losowymi zmiennymi (o pewnym odpowiednim wymiarze). Ponieważ każda funkcja zmiennej losowej jest zmienną losową, statystyka jest zmienną losową.

Prawie zawsze z kontekstu jasno wynika, jakie jest zamierzone znaczenie, szczególnie gdy przestrzegana jest konwencja wielkich / małych liter.

Statystyka testowa to obserwacja specyficzna dla twoich obserwowanych danych, która podąża za rozkładem prawdopodobieństwa przy danym założeniu. To założenie jest zwykle nazywane$H_0$.

Na przykład w Twojej próbie statystyki testowe (zwane statystyką t) zależą od obserwowanych danych ($\bar{x}$ i $s$ oba pochodzą z danych).

Zakładając, że masz na myśli $\mu_0$, obliczone statystyki będą miały określony rozkład. Prawdopodobieństwo wystąpienia tej wartości statystyki jest następnie określane przy założeniu. Jeżeli wartość ta zostanie uznana za niską, założenie ($H_0$) został odrzucony.

Jeśli odrzucimy $H_0$założenie nie oznacza, że ​​przyjęte przez nas założenie było nieprawdziwe. Jeśli to prawda i odrzuciliśmy ją z powodu niskiego prawdopodobieństwa statystyki testowej poniżej$H_0$, Nazywamy to błąd typu I .

Z drugiej strony, jeśli zaakceptujemy to założenie, nie oznacza to, że nasze założenie na pewno było prawdziwe. Jeżeli założenie było nieprawdziwe i przyjęliśmy je, ponieważ przy naszym błędnym założeniu miało wystarczająco duże prawdopodobieństwo, nazywa się to błędem typu II .

Statystyka jest określoną wartością i tylko wtedy, gdy zaakceptujemy pewne założenia, biorąc pod uwagę, że możemy założyć, że ma ona określony rozkład prawdopodobieństwa.

Ta zasada obowiązuje dla wszystkich statystyk testowych, nie tylko dla statystyki t, o której tu wspominasz.