Czy oczekiwanie jest tym samym, co wredne?

11

Robię ML na moim uniwersytecie, a profesor wspomniał termin Oczekiwanie (E), podczas gdy on próbował wyjaśnić nam kilka rzeczy na temat procesów Gaussa. Ale ze sposobu, w jaki to wyjaśnił, zrozumiałem, że E jest takie samo jak średnia μ. Czy zrozumiałem, prawda?

Jeśli jest tak samo, to czy wiesz, dlaczego używane są oba symbole? Widziałem też, że E może być użyte jako funkcja, jak E ( ), ale nie widziałem tego dla μ.x2

Czy ktoś może mi pomóc lepiej zrozumieć różnicę między nimi?

Jim Blum
źródło
Dla ciągłego , E [ X ] = - f ( x ) x d x = μ ( x ) gdzie f ( x ) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa. Jest to prawdą tylko wtedy, gdy argumentem jest X. Jednak może być również prawdą, jeśli mamy E [ g ( X ) ] = E [ X ] = μ ( X ) , gdzieXE[X]=f(x)xdx=μ(x)f(x)XE[g(X)]=E[X]=μ(X) jest czymś innym niż funkcja tożsamości.g
Jase
1
@Jase ? Dlaczego prawa strona jest funkcją x , która powinna zniknąć po podstawieniu granic podczas oceny całki? μ(x)x
Dilip Sarwate
1
@DilipSarwate było literówką. Oznacza to, że μ = μ ( X ) . μ(x)μ=μ(X)
Jase
2
John: gdybym był tobą, uczyłbym się podstawowego prawdopodobieństwa przed przystąpieniem do zajęć uczenia maszynowego / procesów gaussowskich. Spójrz na tę książkę: math.uiuc.edu/~r-ash/BPT.html
Zen
Wielkie dzięki chłopaki za pomoc! Nie spodziewałem się tak wielu opinii. @Zen Dziękuję bardzo za porady. Całkowicie się z Tobą zgadzam. Wziąłem moduł jako licencjat na prawdopodobieństwa i statystyki, jednak mieliśmy proste wprowadzenie do rozkładów i prawdopodobieństw i niestety nie zrobiliśmy ich dogłębnie. Ponadto nie wymieniliśmy terminu „oczekiwanie”. Usiłuję teraz, by zaspokoić swoje luki w statystykach i prawdopodobieństwach.
Jim Blum,

Odpowiedzi:

10

Oczekiwana / Oczekiwana wartość to operator, który można zastosować do zmiennej losowej. W przypadku dyskretnych zmiennych losowych (takich jak dwumianowe) o możliwych wartościach określa się je jako k i x i p ( x i )kikxip(xi) . Oznacza to, że jest to średnia z możliwych wartości ważona prawdopodobieństwem tych wartości. Ciągłych losowe mogą być traktowane jako uogólnienia następująco: . Średnia zmiennej losowej jest synonimem oczekiwania.xdP

Rozkład Gaussa (normalny) ma dwa parametry i σ 2 . Jeśli X jest normalnie rozłożony, to E ( X ) = μ . Tak więc średnia zmiennej rozproszonej Gaussa jest równa parametrowi μ . Nie zawsze tak jest. Weźmy rozkład dwumianowy, który ma parametry n i p . Jeśli X jest rozkład dwumianowy, to E ( X ) = n p .μσ2XE(X)=μμnpXE(X)=np

Jak widzieliście, można również zastosować oczekiwanie do funkcji zmiennych losowych, aby dla Gaussowskiego można było znaleźć, że E ( X 2 ) =X .E(X2)=σ2+μ2

Strona Wikipedii dotycząca oczekiwanych wartości jest dość pouczająca: http://en.wikipedia.org/wiki/Expected_value

Jeremy Coyle
źródło
2
„... tak, że dla Gaussowskiego można znaleźć, że E ( X 2 ) = σ 2 + μ 2. ” Czy absolutnie konieczne jest, aby X autorstwa Gaussiana utrzymał ten związek? Xmi(X2))=σ2)+μ2)X
Dilip Sarwate
Związek zawsze będzie istniał, ale oczekiwałbym odpowiedzi zapisanej w kategoriach parametrów rozkładu. Gdybym więc zapytał kogoś, czym jest E ( X 2 ) dla X dwumianu rozproszonego ( n , p ) , oczekiwałbym odpowiedzi n p ( 1 - p ) + ( n p ) 2 σ 2mi(X2))=V.(X)+mi(X)2)mi(X2))X(n,p)np(1-p)+(np)2) , a nieσ2)+μ2)
Jeremy Coyle
Ale jeśli zapytasz, co to było dla dwumianowej zmiennej losowej o średniej μ i wariancji σ 2 , odpowiedź brzmiałaby σ 2 + μ 2 . Pewnik, że dwumianowy zmienne losowe są zwykle programowane za pomocą n i p , ale co z tego? Ze średniej i wariancji możemy łatwo znaleźć p = 1 - wariancjami(X2))μσ2)σ2)+μ2)np in=średnia
p=1-zmiennośćoznaczać
n=oznaczaćp=oznaczać2)oznaczać-zmienność.
Dilip Sarwate
1
Celem całego przykładu było rozróżnienie między parametrami rozkładu a momentami rozkładu. Tak, możliwe jest sparametryzowanie rozkładów pod względem ich momentów, ale ponieważ OP pytał o związek między a μ , wydaje się ważne, aby nadal robić to rozróżnienie. Czy istnieje powód, dla którego chcesz być pedantyczny w tej kwestii? mi(X)μ
Jeremy Coyle
1
Wielkie dzięki Jeremy! Doskonała odpowiedź. byłeś bardzo pomocny!
Jim Blum
7

Oczekiwanie na notację operatora E () (można znaleźć różne preferencje dotyczące dobrych czcionek, alfabetu łacińskiego lub kursywy, zwykłego lub fantazyjnego) implikuje wzięcie pod uwagę argumentu, ale w kontekście matematycznym lub teoretycznym. Termin pochodzi od Christiaan Huygens w XVII wieku. Pomysł jest wyraźny w większości teorii prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, a na przykład w książce Petera Whittle'a Prawdopodobieństwo przez oczekiwanie wyjaśnia, w jaki sposób można go uczynić jeszcze bardziej centralnym.

Zasadniczo jest to tylko kwestia konwencji, że średnie (średnie) są również często wyrażane raczej inaczej, zwłaszcza za pomocą pojedynczych symboli, a zwłaszcza, gdy te środki mają być obliczane na podstawie danych. Jednak Whittle w cytowanej książce używa notacji A () do uśredniania, a nawiasy kątowe wokół zmiennych lub wyrażeń, które mają być uśredniane, są powszechne w naukach fizycznych.

Nick Cox
źródło