Czy funkcja łącznika kanonicznego zawsze istnieje dla Uogólnionego Modelu Liniowego (GLM)?

11

W GLM, zakładając skalarny i dla rozkładu leżącego u podstaw z pdf Można wykazać, że . Jeśli funkcja łączenia spełnia następujące warunki, gdzie jest predyktorem liniowym, wówczas nazywa się w tym celu funkcją łącza kanonicznego Model.Yθ

fY(y|θ,τ)=h(y,τ)exp(θyA(θ)d(τ))
μ=E(Y)=A(θ)g()
g(μ)=θ=Xβ
Xβg()

Moje pytanie brzmi: czy funkcja łącza kanonicznego zawsze istnieje dla GLM? Innymi słowy, czy zawsze można odwrócić? Jakie są warunki konieczne do istnienia kanonicznej funkcji łącza?A(θ)

Wei
źródło

Odpowiedzi:

6

Dla tych rozkładów iA(θ)=E(Y)A(θ)=Var(Y)/d(τ)

Ponieważ parametr wariancji i dyspersji jest niezerowy (a nawet dodatni), A(θ) jest ściśle rosnącą funkcją i musi być odwracalna.

Nie jestem jednak pewien, czy istnieją rozkłady tej rodziny, które mają nieskończoną wariancję. Nie mogłem znaleźć takich przykładów.

Vainius
źródło