Czy funkcja łącznika kanonicznego zawsze istnieje dla Uogólnionego Modelu Liniowego (GLM)?

W GLM, zakładając skalarny i dla rozkładu leżącego u podstaw z pdf Można wykazać, że . Jeśli funkcja łączenia spełnia następujące warunki, gdzie jest predyktorem liniowym, wówczas nazywa się w tym celu funkcją łącza kanonicznego Model.$Y$$\theta$

$$f_Y(y | \theta, \tau) = h(y,\tau) \exp{\left(\frac{\theta y - A(\theta)}{d(\tau)} \right)}$$ $\mu = \operatorname{E}(Y) = A'(\theta)$$g(\cdot)$ $$g(\mu)=\theta = X'\beta$$ $X'\beta$$g(\cdot)$

Moje pytanie brzmi: czy funkcja łącza kanonicznego zawsze istnieje dla GLM? Innymi słowy, czy zawsze można odwrócić? Jakie są warunki konieczne do istnienia kanonicznej funkcji łącza?$A'(\theta)$

Dla tych rozkładów i$A'(\theta) = E(Y)$$A''(\theta)=Var(Y)/d(\tau)$

Ponieważ parametr wariancji i dyspersji jest niezerowy (a nawet dodatni), $A'(\theta)$ jest ściśle rosnącą funkcją i musi być odwracalna.

Nie jestem jednak pewien, czy istnieją rozkłady tej rodziny, które mają nieskończoną wariancję. Nie mogłem znaleźć takich przykładów.