Rozkład stosunku zależnych zmiennych losowych chi-kwadrat

11

Załóżmy, że gdzie są niezależne.X=X1+X2++XnXiN(0,σ2)

Moje pytanie brzmi: co robi dystrybucja

Z=X2X12+X22++Xn2

podążać? Wiem stąd, że stosunek dwóch losowych zmiennych chi-kwadrat wyrażonych jako zgodny z rozkładem Beta. Myślę, że ta zakłada niezależność pomiędzy i . W moim przypadku mianownik zawiera składniki podniesione do kwadratu.WW+YWYZX

Myślę, że musi również podążać za odmianą dystrybucji Beta, ale nie jestem pewien. A jeśli to założenie jest prawidłowe, nie wiem, jak to udowodnić.Z

x0dros
źródło
6
Ponieważ rozkład mianownika jest niezmienny w przypadku rotacji, możesz obrócić do wartości równej , co sprowadza twoje pytanie do czegoś znajomego :-). XnX1
whuber
1
Jestem pewien, że @whuber oznacza dokładnie to, co tam napisano. Kiedy mówisz „nominator”, masz na myśli „licznik”?
Glen_b
3
Kiedy obracasz cokolwiek, z definicji zachowujesz jego długość. Dlatego wariancja dowolnej obróconej wersji musi być równa wariancji , która wynosi : stąd pochodzi termin . XX1+1++1=nn
whuber
1
@whuber Twoja odpowiedź wydaje się bardzo interesująca, ale mam wątpliwości. Kiedy mówisz, że mogę obrócić aby uzyskać wartość równą , oznacza to w zasadzie, że mogę przepisać licznik na a w konsekwencji samo zmienia się w . Teraz, jeśli że i a ponieważ i są niezależne, mogę założyć, że maXnX1ZnX12ZnX12X12+X22++Xn2W=X12Y=X22++Xn2WYZ=nWW+Yβdystrybucja i tak dalej. Czy rozumiem do tej pory? Oto moje zamieszanie. Przed użyciem pojęcia o niezmienności obrotowej i modifyi
ssah
2
@ssah Błędnie stosujesz moje rozumowanie: bez w mianowniku jego rozkład nie jest już niezmienny w stosunku do dowolnych rotacji więc wnioski nie są już dłużej aktualne. X12(X1,,Xn),
whuber

Odpowiedzi:

7

W tym poście wyjaśniono odpowiedzi w komentarzach do pytania.


Niech . Napraw dowolną długości jednostki. Taki wektor zawsze może być skompletowany do podstawy ortonormalnej (na przykład za pomocą procesu Gram-Schmidta ). Ta zmiana podstawy (ze zwykłej) jest ortogonalna: nie zmienia długości. Zatem rozkładX=(X1,X2,,Xn)e1Rn(e1,e2,,en)

(e1X)2||X||2=(e1X)2X12+X22++Xn2

nie zależy od . Biorąc pokazuje, że ma on taki sam rozkład jake1e1=(1,0,0,,0)

(1)X12X12+X22++Xn2.

Ponieważ mają tę samą wartość Normalną, można je zapisać jako razy iid standardowe zmienne normalne a ich kwadraty są razy . Ponieważ suma niezależnych rozkładów wynosi , ustaliliśmy, że rozkład jest równyXiσY1,,Ynσ2Γ(1/2)n1Γ(1/2)Γ((n1)/2)(1)

σ2Uσ2U+σ2V=UU+V

gdzie i są niezależne. Jest dobrze wiadomo , że ten stosunek ma beta rozkład. (Patrz również ściśle powiązane nić na Dystrybucja jeśli beta , a chi-kwadrat z stopni ).U=X12/σ2Γ(1/2)V=(X22++Xn2)/σ2Γ((n1)/2)(1/2,(n1)/2)XYX(1,K1)Y2K

Ponieważ

X1++Xn=(1,1,,1)(X1,X2,,Xn)=ne1X

dla wektora jednostkowego , wnioskujemy, że to razy Beta zmieniają się. Dla ma zatem funkcję gęstoście1=(1,1,,1)/nZ(n)2=n(1/2,(n1)/2)n2

fZ(z)=n1n/2B(12,n12)(nz)n3z

w przedziale (a poza tym wynosi zero).(0,n)


W celu sprawdzenia, że symulowane niezależnych realizacje o i , wykreślono ich histogramy oraz nakłada się wykres odpowiedniej gęstości beta (na czerwono). Umowy są doskonałe.100,000Zσ=1n=2,3,10

Postać

Oto Rkod. Przeprowadza symulację za pomocą wzoru sum(x)^2 / sum(x^2)na , gdzie jest generowanym wektorem długości . Reszta to po prostu zapętlanie ( , ) i kreślenie ( , ).Zxnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}
Whuber
źródło