Załóżmy, że gdzie są niezależne.
Moje pytanie brzmi: co robi dystrybucja
podążać? Wiem stąd, że stosunek dwóch losowych zmiennych chi-kwadrat wyrażonych jako zgodny z rozkładem Beta. Myślę, że ta zakłada niezależność pomiędzy i . W moim przypadku mianownik zawiera składniki podniesione do kwadratu.
Myślę, że musi również podążać za odmianą dystrybucji Beta, ale nie jestem pewien. A jeśli to założenie jest prawidłowe, nie wiem, jak to udowodnić.
Odpowiedzi:
W tym poście wyjaśniono odpowiedzi w komentarzach do pytania.
Niech . Napraw dowolną długości jednostki. Taki wektor zawsze może być skompletowany do podstawy ortonormalnej (na przykład za pomocą procesu Gram-Schmidta ). Ta zmiana podstawy (ze zwykłej) jest ortogonalna: nie zmienia długości. Zatem rozkładX=(X1,X2,…,Xn) e1∈Rn (e1,e2,…,en)
nie zależy od . Biorąc pokazuje, że ma on taki sam rozkład jake1 e1=(1,0,0,…,0)
Ponieważ mają tę samą wartość Normalną, można je zapisać jako razy iid standardowe zmienne normalne a ich kwadraty są razy . Ponieważ suma niezależnych rozkładów wynosi , ustaliliśmy, że rozkład jest równyXi σ Y1,…,Yn σ2 Γ(1/2) n−1 Γ(1/2) Γ((n−1)/2) (1)
gdzie i są niezależne. Jest dobrze wiadomo , że ten stosunek ma beta rozkład. (Patrz również ściśle powiązane nić na Dystrybucja jeśli beta , a chi-kwadrat z stopni ).U=X21/σ2∼Γ(1/2) V=(X22+⋯+X2n)/σ2∼Γ((n−1)/2) (1/2,(n−1)/2) XY X∼ (1,K−1) Y∼ 2K
Ponieważ
dla wektora jednostkowego , wnioskujemy, że to razy Beta zmieniają się. Dla ma zatem funkcję gęstoście1=(1,1,…,1)/n−−√ Z (n−−√)2=n (1/2,(n−1)/2) n≥2
w przedziale (a poza tym wynosi zero).(0,n)
W celu sprawdzenia, że symulowane niezależnych realizacje o i , wykreślono ich histogramy oraz nakłada się wykres odpowiedniej gęstości beta (na czerwono). Umowy są doskonałe.100,000 Z σ=1 n=2,3,10
OtoZ
R
kod. Przeprowadza symulację za pomocą wzorusum(x)^2 / sum(x^2)
na , gdzie jest generowanym wektorem długości . Reszta to po prostu zapętlanie ( , ) i kreślenie ( , ).x
n
rnorm
for
apply
hist
curve
źródło