Dlaczego standardowy błąd przechwytywania zwiększa się o dalsze

Standardowy błąd terminu przechwytującego ( ) w jest podawany przez gdzie to średnia z .y=β1x+β0+εSE( β 0)2=σ2[$\hat{\beta}_0$$y=\beta_1x+\beta_0+\varepsilon$ˉxx

Z tego, co rozumiem, SE określa twoją niepewność - na przykład w 95% próbek przedział będzie zawierał true . Nie rozumiem, w jaki sposób SE, miara niepewności, rośnie z . Jeśli po prostu zmienię dane, aby , moja niepewność spadła? To wydaje się nieracjonalne.β 0 ˉ x ˉ x = $[\hat{\beta}_0-2SE,\hat{\beta}_0+2SE]$$\beta_0$$\bar{x}$$\bar{x}=0$

Analogiczną interpretacją jest - w nieośrodkowej wersji moich danych odpowiada mojej prognozie dla , podczas gdy w danych wyśrodkowanych odpowiada mojej prognozie dla . Czy to zatem oznacza, że ​​moja niepewność co do mojej prognozy przy jest większa niż moja niepewność co do mojej prognozy przy ? To również wydaje się nieuzasadnione, błąd ma tę samą wariancję dla wszystkich wartości , więc moja niepewność w moich przewidywanych wartościach powinna być taka sama dla wszystkich .x=0 β 0x= ˉ x x=0x= ˉ x εx$\hat{\beta}_0$$x=0$$\hat{\beta}_0$$x=\bar{x}$$x=0$$x=\bar{x}$$\epsilon$$x$$x$

Jestem pewien, że istnieją luki w moim rozumieniu. Czy ktoś mógłby mi pomóc zrozumieć, co się dzieje?

Ponieważ linia regresji dopasowana do zwykłych najmniejszych kwadratów musi koniecznie przejść przez średnią twoich danych (tj. ) - przynajmniej tak długo, jak nie tłumisz przecięcia - niepewność co do prawdziwej wartości nachylenia nie ma wpływu na pionowe położenie linii na środku (tj. w ). Przekłada się to na mniejszą niepewność pionową w niż jesteś dalej od którym jesteś. Jeśli punkt przecięcia, gdzie to , zminimalizuje to twoją niepewność co do prawdziwej wartości$(\bar x, \bar y)$$x$$\hat y_{\bar x}$$\bar x$$\bar x$$x=0$$\bar x$$\beta_0$. Z matematycznego punktu widzenia przekłada się to na najmniejszą możliwą wartość standardowego błędu dla . $\hat\beta_0$

Oto szybki przykład w R:

set.seed(1)                           # this makes the example exactly reproducible
x0      = rnorm(20, mean=0, sd=1)     # the mean of x varies from 0 to 10
x5      = rnorm(20, mean=5, sd=1)
x10     = rnorm(20, mean=10, sd=1)
y0      = 5 + 1*x0  + rnorm(20)       # all data come from the same  
y5      = 5 + 1*x5  + rnorm(20)       #  data generating process
y10     = 5 + 1*x10 + rnorm(20)
model0  = lm(y0~x0)                   # all models are fit the same way
model5  = lm(y5~x5)
model10 = lm(y10~x10)

Ta liczba jest nieco zajęta, ale możesz zobaczyć dane z kilku różnych badań, w których rozkład był bliższy lub większy od . Stoki różnią się nieco między badaniami, ale są w dużej mierze podobne. (Zauważ, że wszystkie przechodzą przez kółko X, które oznaczyłem .) Niemniej jednak niepewność co do prawdziwej wartości tych nachyleń powoduje, że niepewność co do rozszerza się w miarę, jak dalej , co oznacza, że jest bardzo szeroki dla danych, które próbkowano w sąsiedztwie , i bardzo wąski dla badania, w którym dane były próbkowane w pobliżu . $x$$0$$(\bar x, \bar y)$$\hat y$$\bar x$$SE(\hat\beta_0)$$x=10$$x=0$

Edytuj w odpowiedzi na komentarz: Niestety, wyśrodkowanie danych po ich uzyskaniu nie pomoże, jeśli chcesz poznać prawdopodobną wartość przy pewnej wartości . Zamiast tego musisz przede wszystkim skoncentrować gromadzenie danych na tym, na czym Ci zależy. Aby lepiej zrozumieć te problemy, możesz przeczytać moją odpowiedź tutaj: Interwał przewidywania regresji liniowej . $y$$x$$x_\text{new}$