Krok po kroku wdrożenie PCA w języku R przy użyciu samouczka Lindsay Smith

Pracuję w R poprzez doskonały samouczek PCA autorstwa Lindsay I Smith i utknąłem w ostatnim etapie. Poniższy skrypt R przenosi nas do etapu (na str. 19), na którym odtwarzane są oryginalne dane z (w tym przypadku pojedynczego) głównego elementu, który powinien dać wykres linii prostej wzdłuż osi PCA1 (biorąc pod uwagę, że dane ma tylko 2 wymiary, z których drugi jest celowo upuszczany).

d = data.frame(x=c(2.5,0.5,2.2,1.9,3.1,2.3,2.0,1.0,1.5,1.1),
               y=c(2.4,0.7,2.9,2.2,3.0,2.7,1.6,1.1,1.6,0.9))

# mean-adjusted values 
d$x_adj = d$x - mean(d$x)
d$y_adj = d$y - mean(d$y)

# calculate covariance matrix and eigenvectors/values
(cm = cov(d[,1:2]))

#### outputs #############
#          x         y
# x 0.6165556 0.6154444
# y 0.6154444 0.7165556
##########################

(e = eigen(cm))

##### outputs ##############
# $values
# [1] 1.2840277 0.0490834
#
# $vectors
#          [,1]       [,2]
# [1,] 0.6778734 -0.7351787
# [2,] 0.7351787  0.6778734
###########################


# principal component vector slopes
s1 = e$vectors[1,1] / e$vectors[2,1] # PC1
s2 = e$vectors[1,2] / e$vectors[2,2] # PC2

plot(d$x_adj, d$y_adj, asp=T, pch=16, xlab='x', ylab='y')
abline(a=0, b=s1, col='red')
abline(a=0, b=s2)

# PCA data = rowFeatureVector (transposed eigenvectors) * RowDataAdjust (mean adjusted, also transposed)
feat_vec = t(e$vectors)
row_data_adj = t(d[,3:4])
final_data = data.frame(t(feat_vec %*% row_data_adj)) # ?matmult for details
names(final_data) = c('x','y')

#### outputs ###############
# final_data
#              x           y
# 1   0.82797019 -0.17511531
# 2  -1.77758033  0.14285723
# 3   0.99219749  0.38437499
# 4   0.27421042  0.13041721
# 5   1.67580142 -0.20949846
# 6   0.91294910  0.17528244
# 7  -0.09910944 -0.34982470
# 8  -1.14457216  0.04641726
# 9  -0.43804614  0.01776463
# 10 -1.22382056 -0.16267529
############################

# final_data[[1]] = -final_data[[1]] # for some reason the x-axis data is negative the tutorial's result

plot(final_data, asp=T, xlab='PCA 1', ylab='PCA 2', pch=16)

To jest tak daleko, jak mam, i wszystko w porządku do tej pory. Ale nie mogę zrozumieć, w jaki sposób uzyskuje się dane dla ostatecznego wykresu - wariancji przypisywanej PCA 1 - którą Smith wykreśla jako:

Oto, co próbowałem (co ignoruje dodawanie oryginalnych środków):

trans_data = final_data
trans_data[,2] = 0
row_orig_data = t(t(feat_vec[1,]) %*% t(trans_data))
plot(row_orig_data, asp=T, pch=16)

.. i otrzymałem błąd:

.. ponieważ jakoś straciłem wymiar danych podczas mnożenia macierzy. Byłbym bardzo wdzięczny za pomysł, co się tutaj dzieje.

* Edytować *

Zastanawiam się, czy jest to właściwa formuła:

row_orig_data = t(t(feat_vec) %*% t(trans_data))
plot(row_orig_data, asp=T, pch=16, cex=.5)
abline(a=0, b=s1, col='red')

Ale jestem trochę zdezorientowany, jeśli tak, ponieważ (a) rozumiem rowVectorFeaturepotrzebę zredukowania do pożądanej wymiarowości (wektor własny dla PCA1) i (b) nie pokrywa się z linią PCA1:

Wszelkie opinie bardzo cenione.

Byłeś bardzo, bardzo blisko i zostałeś złapany przez subtelny problem w pracy z macierzami w R. Pracowałem od ciebie final_datai uzyskałem prawidłowe wyniki niezależnie. Potem przyjrzałem się twojemu kodowi. Krótko mówiąc, gdzie napisałeś

row_orig_data = t(t(feat_vec[1,]) %*% t(trans_data))

byłbyś w porządku, gdybyś napisał

row_orig_data = t(t(feat_vec) %*% t(trans_data))

trans_data$2\times1$$2\times10$t(feat_vec[1,])$1\times2$row_orig_data = t(as.matrix(feat_vec[1,],ncol=1,nrow=2) %*% t(trans_data))non-conformable arguments

row_orig_data = t(as.matrix(feat_vec[1,],ncol=1,nrow=2) %*% t(trans_data)[1,])

$2\times1$$1\times10$final_data$20=2\times10$row_orig_data$12=2\times1 + 1\times10$

$(XY)^T=Y^TX^T$t(t(p) %*% t(q)) = q %*% t

$x/y$$y/x$

pisać

d_in_new_basis = as.matrix(final_data)

następnie, aby odzyskać swoje dane w pierwotnej podstawie, potrzebujesz

d_in_original_basis = d_in_new_basis %*% feat_vec

Za pomocą można wyzerować części danych, które są rzutowane wzdłuż drugiego komponentu

d_in_new_basis_approx = d_in_new_basis
d_in_new_basis_approx[,2] = 0

i możesz następnie przekształcić jak poprzednio

d_in_original_basis_approx = d_in_new_basis_approx %*% feat_vec

Umieszczenie ich na tym samym wykresie wraz z główną linią składową na zielono pokazuje, jak działało przybliżenie.

plot(x=d_in_original_basis[,1]+mean(d$x),
     y=d_in_original_basis[,2]+mean(d$y),
     pch=16, xlab="x", ylab="y", xlim=c(0,3.5),ylim=c(0,3.5),
     main="black=original data\nred=original data restored using only a single eigenvector")
points(x=d_in_original_basis_approx[,1]+mean(d$x),
       y=d_in_original_basis_approx[,2]+mean(d$y),
       pch=16,col="red")
points(x=c(mean(d$x)-e$vectors[1,1]*10,mean(d$x)+e$vectors[1,1]*10), c(y=mean(d$y)-e$vectors[2,1]*10,mean(d$y)+e$vectors[2,1]*10), type="l",col="green")

Wróćmy do tego, co miałeś. Ta linia była w porządku

final_data = data.frame(t(feat_vec %*% row_data_adj))

feat_vec %*% row_data_adj$Y=S^TX$$S$$X$$Y$$Y$$X$$Y$$X$

Więc miałeś

trans_data = final_data
trans_data[,2] = 0

Jest w porządku: zerujesz tylko te części danych, które są rzutowane wzdłuż drugiego komponentu. Gdzie idzie źle

row_orig_data = t(t(feat_vec[1,]) %*% t(trans_data))

$\hat Y$$Y$$\mathbf{e}_1$t(feat_vec[1,]) %*% t(trans_data)$\mathbf{e}_1 \hat Y$

$2\times1$$2\times10$$\hat Y$$Y$$\mathbf{y}_1$$\mathbf{e}_1$$\mathbf{y}_1$$i$$\mathbf{e}_1\mathbf{y}_1$$\mathbf{e}_1$$i$

Myślę, że masz dobry pomysł, ale natknąłeś się na nieprzyjemną cechę R. Ponownie odpowiedni fragment kodu, jak już powiedziałeś:

trans_data = final_data
trans_data[,2] = 0
row_orig_data = t(t(feat_vec[1,]) %*% t(trans_data))
plot(row_orig_data, asp=T, pch=16)

Zasadniczo final_datazawiera współrzędne pierwotnych punktów w odniesieniu do układu współrzędnych określonego przez wektory własne macierzy kowariancji. Aby zrekonstruować oryginalne punkty, należy zatem pomnożyć każdy wektor własny z powiązaną transformowaną współrzędną, np

(1) final_data[1,1]*t(feat_vec[1,] + final_data[1,2]*t(feat_vec[2,])

co dałoby oryginalne współrzędne pierwszego punktu. W swoim pytaniu drugi składnik prawidłowo ustawić na zero trans_data[,2] = 0. Jeśli następnie (jak już edytowałeś) oblicz

(2) row_orig_data = t(t(feat_vec) %*% t(trans_data))

obliczasz wzór (1) dla wszystkich punktów jednocześnie. Twoje pierwsze podejście

row_orig_data = t(t(feat_vec[1,]) %*% t(trans_data))

oblicza coś innego i działa tylko dlatego, że R automatycznie upuszcza atrybut wymiaru feat_vec[1,], więc nie jest to już wektor wiersza, ale traktowany jak wektor kolumny. Kolejna transpozycja sprawia, że ​​znów jest to wektor wiersza i dlatego przynajmniej obliczenia nie powodują błędu, ale jeśli przejdziesz przez matematykę, zobaczysz, że jest to coś innego niż (1). Zasadniczo dobrym pomysłem w przypadku mnożenia macierzy jest tłumienie upuszczania atrybutu wymiaru, który można osiągnąć za pomocą dropparametru, np feat_vec[1,,drop=FALSE].

$\Delta y / \Delta x$

s1 = e$vectors[2,1] / e$vectors[1,1] # PC1
s2 = e$vectors[2,2] / e$vectors[1,2] # PC2

Po zapoznaniu się z tym ćwiczeniem możesz wypróbować łatwiejsze sposoby w R. Istnieją dwie popularne funkcje do wykonywania PCA: princompi prcomp. Ta princompfunkcja rozkłada wartość własną jak w ćwiczeniu. prcompWykorzystuje rozkładu wartości pojedynczej. Obie metody dają te same wyniki prawie przez cały czas: ta odpowiedź wyjaśnia różnice w R, podczas gdy ta odpowiedź wyjaśnia matematykę . (Dzięki TooTone za komentarze teraz zintegrowane z tym postem).

Tutaj używamy obu do odtworzenia ćwiczenia w R. Po pierwsze princomp:

d = data.frame(x=c(2.5,0.5,2.2,1.9,3.1,2.3,2.0,1.0,1.5,1.1), 
               y=c(2.4,0.7,2.9,2.2,3.0,2.7,1.6,1.1,1.6,0.9))

# compute PCs
p = princomp(d,center=TRUE,retx=TRUE)

# use loadings and scores to reproduce with only first PC
loadings = t(p$loadings[,1]) 
scores = p$scores[,1] 

reproduce = scores %*% loadings  + colMeans(d)

# plots
plot(reproduce,pch=3,ylim=c(-1,4),xlim=c(-1,4))
abline(h=0,v=0,lty=3)
mtext("Original data restored using only a single eigenvector",side=3,cex=0.7)

biplot(p)

Drugie użycie prcomp:

d = data.frame(x=c(2.5,0.5,2.2,1.9,3.1,2.3,2.0,1.0,1.5,1.1), 
               y=c(2.4,0.7,2.9,2.2,3.0,2.7,1.6,1.1,1.6,0.9))

# compute PCs
p = prcomp(d,center=TRUE,retx=TRUE)

# use loadings and scores to reproduce with only first PC
loadings = t(p$rotation[,1])
scores = p$x[,1]

reproduce = scores %*% loadings  + colMeans(d)

# plots
plot(reproduce,pch=3,ylim=c(-1,4),xlim=c(-1,4))
abline(h=0,v=0,lty=3)
mtext("Original data restored using only a single eigenvector",side=3,cex=0.7)

biplot(p)

Oczywiście znaki są odwrócone, ale wyjaśnienie zmienności jest równoważne.