Konwergencja w dystrybucji \ CLT

Biorąc pod uwagę, że , warunkowe rozbieżność. o jest . ma marginalne rozproszenie. Poissona ( ) jest dodatnią stałą. $N = n$ $Y$ $\chi ^2(2n)$ $N$ $\theta$ $\theta$

Pokaż, że jako , w rozkładzie. $\theta \rightarrow \infty$ $\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$

Czy ktoś mógłby zasugerować strategie rozwiązania tego problemu. Wygląda na to, że musimy użyć CLT (Central Limit Theorem), ale ciężko jest uzyskać wszelkie informacje na temat na własną rękę. Czy istnieje rv, który można wprowadzić, aby pobrać próbkę i wygenerować ? $Y$ $Y$

To zadanie domowe, więc wskazówki są mile widziane.

self-study poisson-distribution conditional-probability convergence central-limit-theorem użytkownik42102
źródło

Dla mnie też wygląda to na clt. Może jest to już dla ciebie oczywiste, ale jako theta-> Infinity, co stanie się z N?

PeterR

Czy powinienem patrzeć na rozkład N? Jeśli się z tym bawię, wygląda na to, że pdf zawsze będzie wynosił 0. Co mogę z tego wywnioskować?

user42102,

co oznacza zmienna losowa poissona (theta)?

PeterR

Zmieszałem N w tym pytaniu z rozmiarem próbki n w definicji CLT. Więc . Widzimy więc, że oczekiwana wartość N zbliża się do nieskończoności. Nie jestem jednak pewien, dokąd się udać.

E (N) = θ

$E(N) = \theta$

user42102,

Powinieneś przyjrzeć się niecentralnemu rozkładowi chi-kwadrat. Udowodnienie, że limit jest normalny, będzie bardziej skomplikowane niż prosta aplikacja CLT, której się obawiam.

caburke

Odpowiedzi:

rozwiązanie oparte na właściwościach charakterystycznych funkcji, które są zdefiniowane następująco Wiemy, że rozkład jest jednoznacznie zdefiniowany przez funkcję charakterystyczną, więc udowodnię, że a następnie wynika z pożądanej zbieżności.

ψ_{X} (t) = E \exp (i t X) .

$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} \to ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty,

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$

W tym celu będę musiał obliczyć średnią i wariancję , dla której stosuję prawo całkowitych oczekiwań / wariancji - http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation . Użyłem, że średnia i wariancja rozkładu Poissona to i średnia i wariancja to i . Teraz pojawia się rachunek z charakterystycznymi funkcjami. Najpierw przepisuję definicję jako $Y$

E Y = E {E (Y | N)} = E {2 N} = 2 θ

$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$

V a r (Y) = E {V a r (Y | N)} + V a r {E (Y | N)} = E {4 N} + V a r (2 N) = 4 θ + 4 V a r (N) = 8 θ

$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$

E N = V a r (N) = θ

$EN=Var(N)=\theta$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

E (Y | N = n) = 2 n

$E(Y|N=n)=2n$

V a r (Y | N = n) = 4 n

$Var(Y|N=n)=4n$

Y

$Y$

Y = \sum_{n = 1}^{\infty} Z_{2 n} I_{[N = n]}, where Z_{2 n} \sim χ_{2 n}^{2}

$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$ Teraz używam twierdzenia, które stwierdza, że Charakterystyczna funkcja to , który pochodzi stąd: http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n)

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$

ψ_{Z_{2 n} (t)} = (1 - 2 i t)^{- n}

$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$

Teraz obliczamy funkcję charakterystyczną dla za pomocą rozszerzenia Taylora dla Na koniec korzystamy z właściwości charakterystycznych funkcji Przeskoczyłem nad rachunkiem, ponieważ jest on teraz zbyt długi ... $Y$ $\exp(x)$

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 - 2 i t)^{- n} \frac{θ^{n}}{n!} \exp (- θ) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{θ}{(1 - 2 i t)})}^{n} \frac{1}{n!} \exp (- θ) = \exp (\frac{θ}{1 - 2 i t}) \exp (- θ) = \exp (\frac{2 i t θ}{1 - 2 i t})

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} (t) = \exp (- i \frac{E Y}{\sqrt{V a r Y}}) ψ_{Y} (t / \sqrt{V a r Y}) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) \exp (- 1 + 2 i \frac{t}{\sqrt{8 θ}}) \to \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$

Fimba
źródło

Można to wykazać poprzez związek z niecentralnym rozkładem chisquared. Jest dobry artykuł w Wikipedii na ten temat, do którego będę się swobodnie odwoływał! https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

Podałeś, że jest rozkładem chisquare z stopniami swobody, dla . Tutaj ma rozkład Poissona z oczekiwaniem . $Y|N=n$ $2 n$ $n=0,1,\dots, \infty$ $N$ $\theta$

Mamy zatem, że funkcję gęstości (bezwarunkowo) można zapisać, stosując zasadę całkowitego prawdopodobieństwa, jako Która jest prawie gęstością niecentralnej zmiennej chisquared, z wyjątkiem parametru stopnia swobody , co jest naprawdę niezdefiniowane. (podano to w sekcji definicji artykułu w Wikipedii). $Y$

f_{Y} (y; 0, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i}} (y)

$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$

k = 0

$k=0$

Aby więc uzyskać coś dobrze zdefiniowanego, zastępujemy powyższą formułę która jest gęstością niecentralnej zmiennej chisquared z stopni swobody i parametrem niecentralności . Tak więc w naszej analizie musimy pamiętać o przekroczeniu limitu, gdy po wzięciu limitu . Jest to bezproblemowe, ponieważ na granicy prawdopodobieństwo

f_{Y} (y; k, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i + k}} (y)

$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$

k

$k$

2 θ

$2\theta$

k \to 0

$k \rightarrow 0$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$

N = 0

$N=0$ idzie do zera, więc masa punktowa przy zeru znika (zmienna krzyżowa o zerowych stopniach swobody musi być interpretowana jako masa punktowa przy zeru, więc nie mają funkcji gęstości).

Teraz, dla każdego ustalonego , użyj wyniku w wiki, rozkładach związanych z sekcjami, normalnych przybliżeniach, co daje poszukiwany standardowy normalny limit dla każdego . Następnie weź limit, gdy osiągnie zero, co daje wynik. $k$ $k$ $k$

kjetil b halvorsen
źródło