Taki sam czy inny? Sposób bayesowski

Powiedz, że mam następujący model:

Poisson (λ) \sim {\begin{cases} λ_{1} & if t < τ \\ λ_{2} & if t \geq τ \end{cases}

$\text{Poisson}(\lambda) \sim \begin{cases} \lambda_1 & \text{if } t \lt \tau \\ \lambda_2 & \text{if } t \geq \tau \end{cases}$

I wywnioskowałem, że tylne dla $\lambda_1$ i pokazano poniżej z moich danych. Czy istnieje bayesowski sposób stwierdzenia (lub określenia ilościowego), czy i są takie same czy różne ? $\lambda_2$ $\lambda_1$ $\lambda_2$

Być może pomiar prawdopodobieństwa, że różni się od $\lambda_1$ $\lambda_2$ ? A może używając rozbieżności KL?

Na przykład, jak mogę zmierzyć , a przynajmniej ? $p(\lambda_2 \neq \lambda_1)$ $p(\lambda_2 \gt \lambda_1)$

Zasadniczo, gdy masz poniżej pokazane plakaty (załóż wszędzie niezerowe wartości PDF dla obu), co jest dobrym sposobem na odpowiedź na to pytanie?

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Aktualizacja

Wydaje się, że na to pytanie można odpowiedzieć na dwa sposoby:

Jeśli mamy próbki tylnych, możemy spojrzeć na ułamek próbek, w których (lub równoważnie ). @ Cam.Davidson.Pilon zawiera odpowiedź, która rozwiązałaby ten problem za pomocą takich próbek. $\lambda_1 \neq \lambda_2$ $\lambda_2 > \lambda_1$
Łącząc jakąś różnicę z tylnych stron. I to jest ważna część mojego pytania. Jak wyglądałaby ta integracja? Prawdopodobnie metoda próbkowania przybliżyłaby tę całkę, ale chciałbym poznać jej sformułowanie.

Uwaga: powyższe wykresy pochodzą z tego materiału .

distributions bayesian poisson-distribution Amelio Vazquez-Reina
źródło

Możesz po prostu obliczyć wariancję obu rozkładów i dodać je. To jest różnica różnicy średnich. Następnie oblicz różnicę średnich i zobacz, ile to jest standardowych odchyleń. Możesz zacząć od przybliżenia obu rozkładów normalnym, aby rozpocząć i użyć zwykłych przedziałów ufności dla rozkładu normalnego. Są to wyraźnie inne środki.

Dave31415

Odpowiedź na hipotezę wewnętrzną stanowi odpowiedź

Stéphane Laurent,

Wszystkie wymagane obliczenia są zawarte w moim artykule, ale nie zbadałem przypadku

(

jest stosunkiem dwóch stawek Poissona)

H_{0} : {ϕ = 1}

$H_0:\{\phi=1\}$

ϕ

$\phi$

Stéphane Laurent

Dzięki @ StéphaneLaurent. Twój papier jest świetnym wskaźnikiem, ale wydaje się, że jest specyficzny dla procesów Poissona. Jakie porównanie na wysokim poziomie może zrobić Bayesian, aby oszacować, czy

jest takie samo lub różne od

? Czy analiza musi być specyficzna dla dystrybucji?

λ_{2}

$\lambda_2$

λ_{1}

$\lambda_1$

Amelio Vazquez-Reina

Przepraszam @ user023472 Obecnie nie mam energii. Zobacz artykuły Bernarda cytowane w mojej pracy. „Wewnętrzny” oznacza, że metoda pochodzi od modelu i tylko z niego.

Stéphane Laurent

Odpowiedzi:

Wydaje mi się, że lepszym pytaniem jest to, czy różnią się znacznie?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy obliczyć . Nazwij tę liczbę . Jeśli , istnieje równa szansa, że jedna jest większa od drugiej. Z drugiej strony, jeśli jest naprawdę bliskie 1, to możemy być pewni, że tak jest większy (czytaj: inny) niż . $P(\lambda_2 > \lambda_1)$ $p$ $p \approx 0.50$ $p$ $\lambda_2$ $\lambda_1$

Jak obliczyć ? Jest to banalne w ramach Bayesian MCMC. Mamy próbki z tyłu, więc po prostu obliczmy chace, że próbki z są większe niż : $p$ $\lambda_2$ $\lambda_1$

 p = np.mean( lambda_2_samples > lambda_1_samples )
 print p

Przepraszam, że nie zawarłem tego w książce, na pewno dodam go, ponieważ uważam, że jest to jeden z najbardziej użytecznych pomysłów w wnioskowaniu bayesowskim

Cam.Davidson.Pilon
źródło

Prawdopodobieństwo wynosi 1,0, ponieważ są one różne, ponieważ oba są ciągłymi zmiennymi losowymi. Zastanów się: jakie są twoje wcześniejsze przypuszczenia, że

? Czy naprawdę uważasz, że są one faktycznie równe? (Ignoruj testowanie hipotez: żyjemy w prawdziwym świecie, w którym zmienne nigdy tak naprawdę nie są równe). Zobacz ten post mojego bohatera, Gelmana. Obliczeniowo możesz to sprawdzić, wykonując obliczenia .

λ_{1} = λ_{2}

$\lambda_1 = \lambda_2$ np.mean( lambda_2_samples != lambda_1_samples)

Cam.Davidson.Pilon

P (| λ_{1} - λ_{2} | > 1)

$P(|\lambda_1-\lambda_2| > 1)$

P (λ_{1} \neq λ_{2})

$P(\lambda_1 \ne \lambda_2)$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

λ_{2}

$\lambda_2$

λ_{1}

$\lambda_1$

o Boże, nie chciałbym być w takiej sytuacji! Dotyczy to nieprzyjemnych całek. W przypadku większości modeli nie można tak naprawdę uzyskać tylnych. Nawet jeśli możesz, nadal lepiej jest używać komputera, tylko ze względu na pobieranie próbek. Podsumowując, przykłady> formuły do takich obliczeń.

Cam.Davidson.Pilon

Nie mierzysz „wystarczająco dużego”. Rozważ rozkład z pikiem przy zerze, a drugi z jednakowymi masami przy pikach -10, 10. Twoja statystyka - oczekiwana wartość wskaźnika, że jedna próbka jest większa od drugiej - daje 0,5, ale rozkłady są wyraźnie zupełnie inne.

Neil G

$\lambda_1$ $\lambda_2$ $\Pr(\lambda_1=\lambda_2)=0$

$\lambda_1$ $\lambda_2$ $\epsilon$ $[-\epsilon/2, \epsilon/2]$ . Większe wartości nakładania się wskazują, że dwa tylne są bardziej podobne.

$\lambda_2>\lambda_1$

Sycorax mówi Przywróć Monikę
źródło

Dzięki. Jak twoja odpowiedź odnosi się do niektórych pomysłów omówionych w komentarzach PO?

Amelio Vazquez-Reina

Przepraszam, ale nie znam żadnej z tych metod, więc nie mogę znacząco komentować. @ Stéphane_Laurent jest jednak dość sprytny, dlatego polecam przejrzenie linku przynajmniej.

Sycorax mówi Przywróć Monikę

@ user023472 Przykro mi, ale nie mam dzisiaj energii, aby udzielić odpowiedzi na temat wewnętrznego podejścia do rozbieżności. Opiera się na rozbieżności Kullbacka-Leiblera.

Stéphane Laurent

ϵ

$\epsilon$

p (λ_{2} > λ_{1})

$p(\lambda_2 \gt \lambda_1)$

p (λ_{2} \neq λ_{1})

$p(\lambda_2 \neq \lambda_1)$

Dzięki @ user777. Interesuje mnie sprawa, gdy nie mamy dostępu do próbek. Wcześniej miałeś całkę w swoim poście, ale najwyraźniej ją usunąłeś. Jak wyglądałaby ta całka?

Amelio Vazquez-Reina