Byłoby zrozumiałe, gdyby można podać następujące przykłady:
- Rozkład o nieskończonej średniej i nieskończonej wariancji.
- Rozkład o nieskończonej średniej i skończonej wariancji.
- Rozkład ze skończoną średnią i nieskończoną wariancją.
- Rozkład ze skończoną średnią i skończoną wariancją.
Pochodzi ode mnie, widząc te nieznane terminy (nieskończona średnia, nieskończona wariancja) użyte w artykule, który czytam, googluję i czytam wątek na forum / stronie Wilmott , i nie znajduję wystarczająco jasnego wyjaśnienia. Nie znalazłem też żadnych wyjaśnień w żadnym z moich własnych podręczników.
distributions
variance
mean
user1205901 - Przywróć Monikę
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Średnia i wariancja są zdefiniowane w kategoriach całek. To, co oznacza nieskończoność średniej lub wariancji, to stwierdzenie o ograniczającym zachowaniu tych całek
Na przykład, średnia to (uwzględniając to, powiedzmy jako całkę Stieltjesa); dla ciągłej gęstości byłoby to lim a , b → ∞ ∫ b - a x f ( x ) d x (powiedzmy teraz jako całka Riemanna).lima,b→∞∫b−ax dF lima,b→∞∫b−axf(x) dx
Może się to zdarzyć na przykład, gdy ogon jest „wystarczająco ciężki”. Rozważ następujące przykłady czterech przypadków średniej skończonej / nieskończonej i wariancji:
Rozkład o nieskończonej średniej i nieskończonej wariancji.
Przykłady: rozkład Pareto z , rozkład zeta (2).α=1
Rozkład o nieskończonej średniej i skończonej wariancji.
Niemożliwe.
Rozkład ze skończoną średnią i nieskończoną wariancją.
Przykłady: rozkładt2 . Pareto z .α=32
Rozkład ze skończoną średnią i skończoną wariancją.
Przykłady: każda normalna. Każdy jednolity (w rzeczywistości każda zmienna ograniczona ma wszystkie momenty). .t3
Możesz także mieć rozkład, w którym całka jest niezdefiniowana, ale niekoniecznie przekracza wszystkie skończone granice limitu.
Te notatki Charlesa Geyera mówią o tym, jak w prosty sposób obliczyć odpowiednie całki. Wygląda na to, że zajmuje się tam całkami Riemanna, które obejmują jedynie ciągły przypadek, ale bardziej ogólne definicje całki (na przykład Stieltjes) obejmują wszystkie przypadki, których prawdopodobnie będziesz potrzebować [całkowanie Lebesgue'a jest formą integracji stosowaną w teorii miar (co leży u podstaw prawdopodobieństwa), ale punkt tutaj działa dobrze z bardziej podstawowymi metodami]. Obejmuje również (Sec 2.5, str. 13-14), dlaczego „2.” nie jest możliwe (średnia istnieje, jeśli istnieje wariancja).
źródło
Stabilne rozkłady zapewniają ładne, parametryczne przykłady tego, czego szukasz:
nieskończona średnia i wariancja:0<stability parameter<1
Nie dotyczy
średnia skończona i nieskończona wariancja:1≤stability parameter<2
średnia skończona i wariancja: (gaussowski)stability parameter=2
źródło
Nikt nie wspominał tutaj o paradoksie petersburskim; w przeciwnym razie nie opublikowałbym w tym starym wątku, który ma już wiele odpowiedzi, w tym jedną „zaakceptowaną”.
Jeśli moneta wyląduje na „główkach”, wygrywasz jeden cent.
Jeśli „reszka”, wygrane podwoją się, a następnie „główki” przy drugim rzucie, wygrasz dwa centy.
Jeśli „ogony” za drugim razem, wygrane ponownie się podwoją, a jeśli „trafi” na trzecie podrzucenie, wygrywasz cztery centy.
Odpowiedź jest taka, że w jednej bardzo rzadkiej sytuacji otrzymasz długą sekwencję ogonów, dzięki czemu wygrane zrekompensują ci ogromne koszty, które poniosłeś. To prawda, bez względu na to, jak wysoką cenę płacisz za każde podrzucenie.
źródło
źródło