Jaki jest rozkład odległości euklidesowej między dwiema losowymi zmiennymi o normalnym rozkładzie?

Załóżmy, że otrzymujesz dwa obiekty, których dokładne lokalizacje są nieznane, ale są rozmieszczone zgodnie z normalnymi rozkładami o znanych parametrach (np. i b ∼ N ( v , t ) ) . Można założyć, obie są normalne dwuwymiarowe, takie, że pozycje są opisane przez rozkład w ( x , y ) współrzędnych (to jest m i V są wektory zawierające oczekiwany ( x , y ) współrzędnych dla $a \sim N(m, s)$$b \sim N(v, t))$$(x,y)$$m$$v$$(x,y)$$a$i odpowiednio $b$ ). Zakładamy również, że obiekty są niezależne.

Czy ktoś wie, czy rozkład kwadratowej odległości euklidesowej między tymi dwoma obiektami jest znanym rozkładem parametrycznym? Lub jak uzyskać analitycznie PDF / CDF dla tej funkcji?

Odpowiedź na to pytanie można znaleźć w książce Formy kwadratowe w zmiennych losowych autorstwa Mathai i Provost (1992, Marcel Dekker, Inc.).

Jak wyjaśniono w komentarzach, należy znaleźć rozkład gdzie z = a - b następuje dwuwymiarowy rozkład normalny ze średnią μ i macierzą kowariancji Σ . Jest to forma kwadratowa w dwuwymiarowej zmiennej losowej z .$Q = z_1^2 + z_2^2$$z = a - b$$\mu$$\Sigma$$z$

W skrócie, jednym ładnym ogólnym wynikiem dla przypadku wymiarowego, w którym z ∼ N p ( μ , Σ ) i Q = p ∑ j = 1 z 2 j jest to, że funkcją generującą moment jest E ( e t Q ) = e t ∑ p j = 1 b 2 j λ $p$$z \sim N_p(\mu, \Sigma)$

$$Q = \sum_{j=1}^p z_j^2$$ , gdzieλ1,...,λPsą wartości własneĎibjest liniową funkcjąľ. Zobacz Twierdzenie 3.2a.2 (strona 42) w cytowanej wyżej książce (zakładamy tutaj, żeΣnie jest liczbą pojedynczą). Inną użyteczną reprezentacją jest 3.1a.1 (strona 29) Q=p∑j= $$E(e^{tQ}) = e^{t \sum_{j=1}^p \frac{b_j^2 \lambda_j}{1-2t\lambda_j}}\prod_{j=1}^p (1-2t\lambda_j)^{-1/2}$$ $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$$\Sigma$$b$$\mu$$\Sigma$ gdzie u 1 , … , u p są oznaczone jako N ( 0 , 1 ) . $$Q = \sum_{j=1}^p \lambda_j(u_j + b_j)^2$$ $u_1, \ldots, u_p$$N(0, 1)$

Cały rozdział 4 książki poświęcony jest reprezentacji i obliczaniu gęstości i funkcji rozkładu, co wcale nie jest trywialne. Książkę znam tylko powierzchownie, ale mam wrażenie, że wszystkie ogólne przedstawienia dotyczą nieskończonych serii.

$\lambda_1, \lambda_2 > 0$$b_1, b_2 \in \mathbb{R}$

$a$$b$$a-b$

$\mu_d = \mu_1 - \mu_2$$\Sigma_d = \Sigma_1 + \Sigma_2$ $\Sigma_d = \mathrm{J} \Sigma_{12} \mathrm{J}^T$$\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} \Sigma_1 & \\ & \Sigma_2 \end{bmatrix}$$\mathrm{J} = \begin{bmatrix} +\mathrm{I}, & -\mathrm{I} \end{bmatrix}$

Po drugie, poszukaj rozkładu długości wektora różnicy lub odległości promieniowej od początku, która jest rozproszona przez Hoyta :

Promień wokół prawdziwej średniej w dwuwymiarowej skorelowanej normalnej zmiennej losowej z nierównymi wariancjami, zapisany ponownie we współrzędnych biegunowych (promień i kąt), jest zgodny z rozkładem Hoyta. Pliki pdf i cdf są zdefiniowane w formie zamkniętej, do znalezienia cdf ^ −1 służy numeryczne wyszukiwanie root. Zmniejsza się do rozkładu Rayleigha, jeśli korelacja wynosi 0, a wariancje są równe.

Bardziej ogólna dystrybucja powstaje, jeśli dopuszczasz stronniczą różnicę (przesunięte pochodzenie), z Ballistipedia :

Dlaczego by tego nie przetestować?

set.seed(347)
x <- rnorm(10000)
y <- rnorm(10000)
x2 <- rnorm(10000)
y2 <- rnorm(10000)

qdf <- data.frame(x,y,x2,y2)
qdf <- data.frame(qdf,(x-x2)^2+(y-y2)^2)
colnames(qdf)[5] <- "euclid" 

plot(c(x,y),c(x2,y2))
plot(qdf$euclid)
hist(qdf$euclid) 
plot(dentist(qdf$euclid))