Załóżmy następującą konfigurację:
Niech . Również . Ponadto tj. jest wypukłą kombinacją granic odpowiednich podpór. jest wspólne dla wszystkich .
Myślę, że mam prawidłowy rozkład : jest to rozkład mieszany .
Ma część ciągłą,
Więc we wszystkich
podczas gdy dla mieszanej funkcji „dyskretna / ciągła” masa / gęstość wynosi poza przedziałem , ma ona część ciągłą, która jest gęstością jednolitego , ale dla , i koncentruje masę prawdopodobieństwa dodatniego przy .
Podsumowując, sumuje się do jedności nad rzeczywistością.
Chciałbym móc wyprowadzić lub powiedzieć coś o rozkładzie i / lub momentach zmiennej losowej , jako .
Powiedzmy, że jeśli są niezależne, wygląda na to, że jako . Czy mogę „zignorować” tę część, nawet jako przybliżenie? Wtedy zostałbym ze zmienną losową, która zawiera się w przedziale , wyglądając jak suma cenzurowanych mundurów, w drodze do zostania "nieocenzurowanymi", a więc może jakieś centralne twierdzenie graniczne ... ale raczej rozbieżę się, zamiast się tutaj zbiegać, więc jakieś sugestie?
PS: To pytanie jest istotne, wyprowadzając rozkład sumy zmiennych ocenzurowanych , ale odpowiedź @Glen_b nie jest tym, czego potrzebuję - muszę pracować nad tym analitycznie, nawet przy użyciu przybliżeń. To są badania, więc proszę traktować je jak pracę domową - ogólne sugestie lub odniesienia do literatury są wystarczająco dobre.
źródło
Odpowiedzi:
Podążę za wskazówkami Henry'ego i sprawdzę Lyapunov z . Fakt, że rozkłady są mieszane, nie powinien stanowić problemu, pod warunkiem, że i zachowują się poprawnie. Symulacja konkretnego przypadku, w którym , , dla każdego pokazuje, że normalność jest w porządku.δ= 1 zaja bja zaja= 0 bja= 1 kja= 2 / 3 ja ≥ 1
źródło
Poradnik:
Zakładając, że jest ustalone, a są niezależne, możesz obliczyć średnią i wariancję każdego : na przykład i wiesz, że .do Xja μja σ2)ja Zja μja= E[Zja] = czaja+kja2)+ ( 1 - c )kja kja= czaja+ ( 1 - c )bja
Następnie, pod warunkiem, że i nie rosną zbyt szybko, możesz użyć warunków Lapunowa lub Lindeberga, aby zastosować twierdzenie o limicie centralnym, z wnioskiem, że zbiega się w rozkładzie do standardowej normalnej lub w sensie machania ręką jest w przybliżeniu normalnie dystrybuowane ze średnią i wariancja .zaja bja 1∑n1σ2)ja-----√(∑1nZja-∑1nμja) ∑n1Zja ∑n1μja ∑n1σ2)ja
źródło
Moje główne zmartwienie w tym pytaniu dotyczyło tego, czy można zastosować CLT „jak zwykle” w przypadku, który badam. Użytkownik @Henry stwierdził, że można, użytkownik @Zen pokazał to poprzez symulację. Tak zachęcony, teraz udowodnię to analitycznie.
Najpierw sprawdzę, czy ta zmienna z rozkładem mieszanym ma „zwykłą” funkcję generowania momentu. Oznaczają wartość oczekiwana , jego odchylenie standardowe, a na środku i skalowany wersja o . Stosując wzór zmiany zmiennej, okazuje się, że część ciągła to Funkcja generowania momentu powinna byćμja Zja σja Zja Z~ja=Zja-μjaσja
Używając liczb pierwszych do oznaczania pochodnych, jeśli poprawnie podaliśmy funkcję generowania momentu, powinniśmy uzyskać od tego czasu jest wyśrodkowaną i skalowaną zmienną losową. I rzeczywiście, obliczając pochodne, stosując wielokrotnie regułę L'Hopital (ponieważ wartość MGF na zero musi być obliczona przez granice) i wykonując manipulacje algebraiczne, zweryfikowałem dwie pierwsze równości. Trzecia równość okazała się zbyt męcząca, ale wierzę, że tak jest.
Mamy więc odpowiedni MGF. Jeśli weźmiemy rozszerzenie Taylora drugiego rzędu około zera, to mamy
Oznacza to, że funkcją charakterystyczną jest (tutaj oznacza jednostkę urojoną) .ja
Z właściwości funkcji charakterystycznej wynika, że funkcja charakterystyczna jest równaZ~/n--√
a ponieważ mamy niezależne zmienne losowe, charakterystyczną funkcją jest1n√∑njaZ~ja
Następnie
przez jak liczba jest reprezentowanymi . Zdarza się, że ostatni człon jest funkcją charakterystyczną standardowego rozkładu normalnego i według twierdzenia Levy'ego o ciągłości mamy
którym jest CLT. Zauważ, że fakt, że zmienne - nie są identycznie rozmieszczone, „zniknął” z widoku, kiedy rozważymy ich wyśrodkowane i skalowane wersje i rozważymy rozszerzenie Taylora drugiego rzędu ich MGF / CHF: na tym przybliżeniu funkcje te są identyczne, a wszystkie różnice są zagęszczone w pozostałych kategoriach, które zanikają asymptotycznie.Z
Fakt, że idiosynkratyczne zachowanie na poziomie indywidualnym, ze wszystkich pojedynczych elementów, znika jednak, gdy weźmiemy pod uwagę średnie zachowanie, uważam, że bardzo dobrze jest to pokazane przy użyciu paskudnego stworzenia, takiego jak zmienna losowa o mieszanym rozkładzie.
źródło