Jak wybielić dane za pomocą analizy głównych składników?

Chcę przekształcić moje dane tak, aby wariancje były równe jeden, a kowariancje były równe zero (tzn. Chcę wybielić dane). Ponadto średnie powinny wynosić zero.$\mathbf X$

Wiem, że się tam dostanę, wykonując standaryzację Z i transformację PCA, ale w jakiej kolejności mam to zrobić?

Powinienem dodać, że skomponowana transformacja wybielająca powinna mieć postać .$\mathbf{x} \mapsto W\mathbf{x} + \mathbf{b}$

Czy istnieje metoda podobna do PCA, która wykonuje dokładnie obie te transformacje i daje mi wzór powyższej formy?

Po pierwsze, otrzymujesz średnią zero, odejmując średnią $\boldsymbol \mu = \frac{1}{N}\sum \mathbf{x}$ .

Po drugie, otrzymujesz zero kowariancji, wykonując PCA. Jeśli jest macierzą kowariancji twoich danych, to PCA sprowadza się do wykonania kompozycji cyfrowej , gdzie to macierz obrotu ortogonalnego złożona z wektorów własnych i to macierz diagonalna z wartościami własnymi na przekątnej. Matryca daje obrót potrzebny do dekorelacji danych (tj. Odwzorowuje oryginalne cechy na główne komponenty).$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Sigma = \mathbf{U} \boldsymbol \Lambda \mathbf{U}^\top$$\mathbf{U}$$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Lambda$$\mathbf{U}^\top$

Po trzecie, po obrocie każdy komponent będzie miał wariancję podaną przez odpowiednią wartość własną. Aby więc wariancje równe , musisz podzielić przez pierwiastek kwadratowy z .$1$$\boldsymbol \Lambda$

Podsumowując, transformacja wybielająca to . Możesz otworzyć nawiasy, aby uzyskać formularz, którego szukasz.$\mathbf{x} \mapsto \boldsymbol \Lambda^{-1/2} \mathbf{U}^\top (\mathbf{x} - \boldsymbol \mu)$

Aktualizacja. Zobacz także ten późniejszy wątek, aby uzyskać więcej informacji: Jaka jest różnica między wybielaniem ZCA a wybielaniem PCA?