Jaki jest cel funkcji charakterystycznych?

37

Mam nadzieję, że ktoś wyjaśni laikowi, czym jest charakterystyczna funkcja i jak jest ona wykorzystywana w praktyce. Czytałem, że jest to transformata Fouriera w pdf, więc chyba wiem, co to jest, ale nadal nie rozumiem jej celu. Gdyby ktoś mógł podać intuicyjny opis jego przeznaczenia i być może przykład tego, jak jest zwykle używany, byłoby to fantastyczne!

Jeszcze jedna uwaga: widziałem stronę Wikipedii , ale najwyraźniej jestem zbyt gęsty, by zrozumieć, co się dzieje. To, czego szukam, to wyjaśnienie, które ktoś, kto nie jest zanurzony w cudach teorii prawdopodobieństwa, może powiedzieć informatyk.

Nacięcie
źródło

Odpowiedzi:

47

Dawno temu ludzie używali tabel logarytmicznych, aby szybciej pomnożyć liczby. Dlaczego to? Logarytmy konwertują mnożenie na dodawanie, ponieważ . Tak więc w celu pomnożenia dwóch dużych liczb i , znalazłeś ich logarytmy logarytmy, dodał, , a następnie spojrzał w górę na innym stole.log(ab)=log(a)+log(b)abz=log(a)+log(b)exp(z)

Teraz charakterystyczne funkcje działają podobnie do rozkładów prawdopodobieństwa. Załóżmy, że ma rozkład a ma rozkład , a i są niezależne. Następnie rozkład jest uwypuklony w i , .XfYgXYX+Yfgfg

Teraz funkcja charakterystyczna jest analogią „sztuczki z tablicy logarytmicznej” dla splotu, ponieważ jeśli jest funkcją charakterystyczną dla , to zachodzi następująca relacja:ϕff

ϕfϕg=ϕfg

Ponadto, podobnie jak w przypadku logarytmów, łatwo jest znaleźć odwrotność funkcji charakterystycznej: biorąc pod uwagę gdzie jest nieznaną gęstością, możemy uzyskać przez odwrotną transformatę Fouriera .ϕhhhϕh

Funkcja charakterystyczna przekształca splot w mnożenie dla funkcji gęstości w taki sam sposób, w jaki logarytmy przekształcają mnożenie na sumę dla liczb. Obie transformacje przekształcają stosunkowo skomplikowaną operację w stosunkowo prostą.

charles.y.zheng
źródło
22
Inne warte uwagi elementy: (a) Odzyskiwanie momentów poprzez różnicowanie, (b) Fakt, że wszystkie rozkłady pełnią charakterystyczne funkcje (w porównaniu z funkcjami generującymi momenty), (c) (Zasadniczo) korespondencja jeden do jednego między rozkładami oraz ich charakterystyczne funkcje oraz (d) fakt, że wiele stosunkowo powszechnych rozkładów ma znane charakterystyczne funkcje, ale nie ma znanego wyrażenia gęstości (np. rozkłady stabilne Levy'ego).
kardynał
3
Dobre komentarze, @cardinal. Zastanów się, czy nie zamienić ich w prawdziwą odpowiedź.
whuber
Czy dla tych, którzy rozumieją ten temat, jest on w ogóle związany z równaniami charakterystycznymi, stosowanymi w relacjach powtarzalności (tj. W konkretnej matematyce Knutha)? Domyślam się, że są bardzo różne i przypadkowo dzielą się słowem „charakterystyczny”, ale pomyślałem, że zapytam.
Wayne,
@Wayne powinieneś opublikować to jako pytanie. Myślę, że istnieje ścisły związek: funkcje charakterystyczne powstają z transformacji Fouriera, która jest transformacją Gelfanda związaną z rozkładami na linii rzeczywistej. Wydaje się, że równanie charakterystyczne relacji rekurencji wynika z funkcji generowania prawdopodobieństwa, którą jest transformata Gelfanda związana z liczbami naturalnymi. Zmienne w relacjach powtarzalności można traktować jako przyjmujące wartości w dyskretnych krokach czasowych, tj. Liczbach naturalnych.
kantorhead
@Wayne ... Myślę więc, że operator, który przyjmuje zmienną w relacji rekurencyjnej do jej równania charakterystycznego, może być uważany za „transformatę Fouriera” związaną z rozkładami liczb naturalnych. Szukałem i nie znalazłem tego pytania, ale bardzo chciałbym zobaczyć odpowiedzi, jeśli je opublikujesz.
kantorhead
6

@ charles.y.zheng i @cardinal dali bardzo dobre odpowiedzi, dodam moje dwa centy. Tak, charakterystyczna funkcja może wyglądać jak niepotrzebna komplikacja, ale jest to potężne narzędzie, które może przynieść ci wyniki. Jeśli próbujesz udowodnić coś za pomocą funkcji rozkładu skumulowanego, zawsze zaleca się sprawdzenie, czy nie można uzyskać wyniku za pomocą funkcji charakterystycznej. Czasami daje to bardzo krótkie dowody.

Chociaż początkowo funkcja charakterystyczna wygląda na nieintuicyjny sposób pracy z rozkładami prawdopodobieństwa, istnieją pewne potężne wyniki bezpośrednio z nią związane, co oznacza, że ​​nie można odrzucić tej koncepcji jako zwykłej rozrywki matematycznej. Na przykład mój ulubiony wynik w teorii prawdopodobieństwa jest taki, że każda nieskończenie podzielna dystrybucja ma unikalną reprezentację Lévy – Khintchine . W połączeniu z faktem, że nieskończenie podzielne rozkłady są jedynym możliwym rozkładem dla granic sum niezależnych zmiennych losowych (wyłączając przypadki dziwne), jest to głęboki wynik, na podstawie którego wyprowadza się twierdzenie o granicy centralnej.

mpiktas
źródło
3

Celem charakterystycznych funkcji jest to, że można je wykorzystać do wyprowadzenia właściwości rozkładów w teorii prawdopodobieństwa. Jeśli nie jesteś zainteresowany takimi pochodnymi, nie musisz uczyć się o charakterystycznych funkcjach.

jeden przystanek
źródło
Przypuszczam, że mogą mnie zainteresować takie pochodne - po prostu nie rozumiem, dlaczego musimy przejść do funkcji charakterystycznej? Dlaczego jest to łatwiejsze niż bezpośrednie zajmowanie się plikiem pdf / cdf?
Nick
1
@Nick To ma trochę element folklorystyczny, na przykład „jest tak elegancki, że jest to reprezentacja jakiejś koncepcji dystrybucji, ...”. Oczywiście pomaga w niektórych matematyce, więc nie jest to tylko zbędna zabawka, ale do codziennego użytku odpowiada fizykom zmuszającym do klasycznego problemu, aby użyć stałej drobnej struktury.
Nie musimy ich używać. Powiedziałem tylko, że można ich użyć. Czasami dają szybsze wyprowadzenie, czasem wcale nie pomagają. To, czy wyprowadzenie jest „łatwiejsze”, zależy od tego, co już wiesz - jeśli nie wiesz jeszcze o charakterystycznych funkcjach, nie będzie łatwiej. W niektórych przypadkach funkcje generowania momentu stanowią alternatywę i mają bardziej bezpośrednią interpretację.
onestop
2

Cechą charakterystyczną jest transformata Fouriera funkcji gęstości rozkładu. Jeśli masz jakąkolwiek intuicję dotyczącą transformacji Fouriera, ten fakt może być pouczający. Powszechna historia o transformatach Fouriera polega na tym, że opisują one funkcję „w przestrzeni częstotliwości”. Ponieważ gęstość prawdopodobieństwa jest zwykle niemodalna (przynajmniej w świecie rzeczywistym lub w modelach wykonanych o świecie rzeczywistym), nie wydaje się to szczególnie interesujące.

shabbychef
źródło
1
Uwaga : potencjalny redaktor twierdzi, że „funkcją charakterystyczną jest odwrotna transformata Fouriera”.
gung - Przywróć Monikę
-1

Transformacja Fouriera jest rozkładem funkcji (nieokresowej) na jej częstotliwości. Interpretacja gęstości?

Transformacja Fouriera jest ciągłą wersją szeregu Fouriera, ponieważ żadna gęstość nie jest okresowa, bez wyrażenia takiego jak „szereg charakterystyczny”.

niko schmith
źródło