Jak interpretować parametry w GLM z rodziną = Gamma

21

Mam pytanie dotyczące interpretacji parametrów dla GLM ze zmienną zależną od rozkładu gamma. Oto, co R zwraca dla mojego GLM z log-link:

Call:
glm(formula = income ~ height + age + educat + married + sex + language + highschool, 
    family = Gamma(link = log), data = fakesoep)

Deviance Residuals: 
       Min        1Q    Median        3Q       Max  
  -1.47399  -0.31490  -0.05961   0.18374   1.94176  

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  6.2202325  0.2182771  28.497  < 2e-16 ***
height       0.0082530  0.0011930   6.918 5.58e-12 ***
age          0.0001786  0.0009345   0.191    0.848    
educat       0.0119425  0.0009816  12.166  < 2e-16 ***
married     -0.0178813  0.0173453  -1.031    0.303    
sex         -0.3179608  0.0216168 -14.709  < 2e-16 ***
language     0.0050755  0.0279452   0.182    0.856    
highschool   0.3466434  0.0167621  20.680  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for Gamma family taken to be 0.1747557)

Null deviance: 757.46  on 2999  degrees of freedom
Residual deviance: 502.50  on 2992  degrees of freedom
AIC: 49184

Jak interpretować parametry? Jeśli obliczę exp(coef())mój model, otrzymam ~ 500 za przechwycenie. Teraz uważam, że nie oznacza to oczekiwanego dochodu, jeśli wszystkie inne zmienne są utrzymywane na stałym poziomie, prawda? Ponieważ średnia lub mean(age)wynosi ~ 2000. Ponadto nie mam pojęcia, jak interpretować kierunek i wartość współczynników współzmiennych.

r generalized-linear-model interpretation gamma-distribution gung - Przywróć Monikę
źródło

6

500 byłoby blisko oczekiwanego dochodu, gdyby wszystkie inne zmienne miały dokładnie zero (a nie tylko stały) - tak jak w regresji, naprawdę.

Glen_b

@Glen_b dlaczego miałby być oczekiwany dochód, gdy wykładniczy współczynnik jest multiplikatywnym wpływem na dochód, gdy następuje zmiana zmiennej objaśniającej?

tatami

Omawiany przypadek jest średnią warunkową, gdy wszystkie zmienne wyjaśniające mają wartość 0.

Glen_b

25

Logmana powiązanej specyfikacji gamma GLM jest identyczna z regresją wykładniczą:

E [y | x, z] = \exp (α + β \cdot x + γ \cdot z) = \hat{y}

$E[y \vert x,z] = \exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z \right)=\hat y$

$E[y \vert x=0,z=0]=\exp(\alpha)$

$y$ $x$ $x$

\frac{\partial E [y | x, z]}{\partial x} = \exp (α + β \cdot x + γ \cdot z) \cdot β = \hat{y} \cdot β

$\frac{\partial E[y \vert x,z]}{\partial x} = \exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z\right)\cdot \beta=\hat y \cdot \beta$

$x$ $z$ $x$ $z$ $\hat y \cdot \beta$ $x$ $y$

$x$

E [y | z, x = 1] - E [y | z, x = 0] = \exp (α + β + γ \cdot z) - \exp (α + γ \cdot z) = \exp (α + γ \cdot z) \cdot (\exp (β) - 1)

$E[y \vert z,x=1]-E[y \vert z,x=0]=\exp \left( \alpha + \beta +\gamma \cdot z\right) - \exp \left( \alpha +\gamma \cdot z\right)= \exp \left( \alpha +\gamma \cdot z\right) \cdot\left( \exp(\beta)-1 \right)$

$x$

Trzecią metodą jest potęgowanie współczynników. Uwaga:

\begin{matrix} E [y | z, x + 1] & = \exp (α + β \cdot (x + 1) + γ \cdot z) \\ = \exp (α + β \cdot x + β + γ \cdot z) \\ = \exp (α + β \cdot x + γ \cdot z) \cdot \exp (β) \\ = E [y | z, x] \cdot \exp (β) \end{matrix}

$\begin{array} _E[y \vert z,x+1] &= \exp \left( \alpha + \beta \cdot (x+1) +\gamma \cdot z \right) \\ &=\exp \left( \alpha + \beta \cdot x+\beta +\gamma \cdot z \right)\\ &=\exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z \right)\cdot \exp(\beta) \\ &= E[y \vert z,x]\cdot \exp(\beta) \end{array}$

$x$

Dimitriy V. Masterov
źródło

1

Czy byłbyś w stanie zilustrować drugą interpretację?

tatami

@tatami Naprawiłem błąd w przypadku binarnym. Czy to ma teraz więcej sensu?

Dimitriy V. Masterov

2

Najpierw przyjrzę się resztkom, aby zobaczyć, jak dobrze pasuje model. Jeśli wszystko jest w porządku, spróbowałbym użyć innych funkcji łącza, chyba że miałbym powód, by sądzić, że tak naprawdę pochodzi z rozkładu gamma. Jeśli gamma nadal wyglądałaby przekonująco, doszłbym do wniosku, że statystycznie znaczącymi terminami są punkt przecięcia, wzrost, wykształcenie, płeć i szkoła średnia (te oznaczone trzema gwiazdkami). Między sobą nie można powiedzieć więcej, jeśli nie są znormalizowane (mają ten sam zakres).

Odpowiedź na komentarz: Teraz lepiej rozumiem twoje pytanie. Absolutnie możesz to zrobić! Wzrost jednostki o wysokość powoduje exp (0,0082530) -1 ~ = 0,0082530 (używając przybliżenia exp x = 1 + x dla małej x) względnej zmiany dochodu. Bardzo łatwa do interpretacji, nie?

Emre
źródło

1

Więc nie mogę właściwie zinterpretować parametrów, np. Dochód wzrasta o xy, jeśli wysokość wzrośnie o jeden?

1

Wierzę teraz, że muszę to interpretować mnożnie: exp (przechwytywanie) * exp (wzrost) byłby dochodem ze wzrostem o 1 jednostkę. Dziękuję jednak! :)

Jak interpretować parametry w GLM z rodziną = Gamma

Odpowiedzi: