Czy istnieje twierdzenie, które mówi, że zbiega się w rozkładzie normalnym, gdy idzie w nieskończoność?

Niech będzie dowolnym rozkładem ze zdefiniowaną średnią, i odchyleniem standardowym, . Twierdzenie o limicie centralnym mówi, że zbiega się w rozkładzie do standardowego rozkładu normalnego. Jeśli zastąpimy przez przykładowe odchylenie standardowe , to czy istnieje twierdzenie, że zbiega się w rozkładzie do rozkładu t? Ponieważ dla dużych$X$$\mu$$\sigma$

$$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$$ $\sigma$$S$ $$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$$ $n$rozkład t zbliża się do normy, twierdzenie, jeśli istnieje, może stwierdzać, że granica jest standardowym rozkładem normalnym. Dlatego wydaje mi się, że rozkłady t nie są bardzo przydatne - że są użyteczne tylko wtedy, gdy jest w przybliżeniu normalny. Czy tak jest w przypadku? $X$

Jeśli to możliwe, czy wskazałbyś referencje zawierające dowód tego CLT, gdy jest zastąpiony przez ? Takie odniesienie najlepiej byłoby wykorzystać koncepcje teorii miary. Ale w tym momencie wszystko byłoby dla mnie świetne.$\sigma$$S$

Aby rozwinąć komentarz @ cardinal, rozważ próbkę o wielkości z losowej zmiennej o pewnym rozkładzie i momentach skończonych, średniej i odchyleniu standardowym . Zdefiniuj zmienną losową$n$$X$$\mu$$\sigma$

$$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$$ Podstawowe twierdzenie o centralnym mówi, że $$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$$

Rozważmy teraz zmienną losową , gdzie jest próbka Odchylenie standardowe .$Y_n = \frac 1{S_n}$$S_n$$X$

Próbka jest tam i dlatego momenty próbne szacują konsekwentnie momenty zaludnienia. Więc

$$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$$

Wpisz @cardinal: Twierdzenie Slutsky'ego (lub lemat) mówi między innymi, że gdzie jest stałą . Tak jest w naszym przypadku

$$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$$ $c$

$$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$$

Jeśli chodzi o użyteczność rozkładu Studenta, wspomnę tylko, że w jego „tradycyjnych zastosowaniach” związanych z testami statystycznymi jest nadal niezbędny, gdy rozmiary próbek są naprawdę małe (i nadal mamy do czynienia z takimi przypadkami), ale także, że ma były szeroko stosowane do modelowania szeregów autoregresyjnych z (warunkową) heteroskedastycznością, szczególnie w kontekście Finance Econometrics, gdzie takie dane pojawiają się często.