MLE parametru lokalizacji w rozkładzie Cauchy'ego

Po wycentrowaniu można przyjąć , że dwa pomiary x i −x są niezależnymi obserwacjami z rozkładu Cauchy'ego z funkcją gęstości prawdopodobieństwa:

$f(x :\theta) =$ ,-∞<x<$1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

Pokaż, że jeśli $x^2≤ 1$ MLE z $\theta$ wynosi 0, ale jeśli $x^2>1$ , są dwa MLE z $\theta$ , równe ± $\sqrt {x^2-1}$

Myślę, że aby znaleźć MLE, muszę rozróżnić prawdopodobieństwo dziennika:

=∑2(xi-θ$dl\over d\theta$ $=\sum$ =2(-x-θ$2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ $2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ + =$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

Więc,

=2(x+θ$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

które następnie uprościłem do

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

Teraz uderzyłem w ścianę. Prawdopodobnie w pewnym momencie się pomyliłem, ale tak czy inaczej nie jestem pewien, jak odpowiedzieć na pytanie. Czy ktoś może pomóc?

W twoich obliczeniach jest literówka matematyczna. Pierwszy warunek dla maksimum to:

$$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$$

Jeśli to czas w nawiasie nie może wynosić zero (oczywiście dla rzeczywistych rozwiązań), więc pozostaje ci tylko rozwiązanie . θ = $x^2\leq 1$$\hat \theta =0$

Jeśli masz więc oprócz punktu kandydującego również otrzymujesz2 θ [ θ 2 - ( x 2 - 1 ) ] = 0 θ = $x^2 >1$$2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$$\theta =0$

$$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$$

Musisz także uzasadnić, dlaczego w tym przypadku nie jest już MLE.$\hat \theta =0$

UZUPEŁNIENIE

Dla wykres prawdopodobieństwa logarytmu wynosi $x =\pm 0.5$

podczas gdy dla wykres prawdopodobieństwa logarytmu jest, $x =\pm 1.5$

Teraz wszystko, co musisz zrobić, to udowodnić to algebraicznie, a następnie zastanowić się „dobrze, a który z nich powinienem wybrać?”