Grupa dwuścienna $D_4$ jest grupą symetrii kwadratu, to znaczy ruchami, które przekształcają kwadrat w siebie poprzez obroty i odbicia. Składa się z 8 elementów: obrotu o 0, 90, 180 i 270 stopni oraz odbić w poprzek osi poziomej, pionowej i dwóch przekątnych.

Wszystkie zdjęcia pochodzą z tej uroczej strony autorstwa Larry Riddle'a.

Wyzwanie polega na skomponowaniu tych ruchów: biorąc pod uwagę dwa ruchy, wygeneruj ruch, który jest równoważny z wykonaniem ich jeden po drugim. Na przykład wykonanie ruchu 7, po którym następuje ruch 4, jest tym samym, co wykonanie ruchu 5.

Zauważ, że zmiana kolejności na ruch 4, a następnie ruch 7 powoduje ruch 6.

Wyniki zestawiono w tabeli poniżej; to jest stół Cayleya grupy $D_4$ . Na przykład dane wejściowe $7, 4$ powinny dawać wynik $5$ .

$$\begin{array}{*{20}{c}} {} & {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \end{array} } \\ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \\ \end{array} } & {\boxed{\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 8 & 7 & 5 & 6\\ 3 & 4 & 1 & 2 & 6 & 5 & 8 & 7\\ 4 & 1 & 2 & 3 & 7 & 8 & 6 & 5\\ 5 & 7 & 6 & 8 & 1 & 3 & 2 & 4\\ 6 & 8 & 5 & 7 & 3 & 1 & 4 & 2\\ 7 & 6 & 8 & 5 & 4 & 2 & 1 & 3\\ 8 & 5 & 7 & 6 & 2 & 4 & 3 & 1\\ \end{array} }} \\ \end{array}$$

Wyzwanie

Twoim celem jest wdrożenie tej operacji w jak najmniejszej liczbie bajtów, ale oprócz kodu wybierasz także etykiety reprezentujące ruchy od 1 do 8. Etykiety muszą mieć 8 różnych liczb od 0 do 255 , lub 8 -bajtowe znaki, które reprezentują ich punkty kodowe.

Twój kod otrzyma dwie etykiety z 8, które wybrałeś i musi wypisać etykietę odpowiadającą ich składowi w dwuściennej grupie $D_4$ .

Przykład

Powiedzmy, że wybrałeś znaki C, O, M, P, U, T, E, R odpowiednio dla ruchów od 1 do 8. Następnie kod powinien implementować tę tabelę.

$$\begin{array}{*{20}{c}} {} & {\begin{array}{*{20}{c}} \, C \, & \, O \, & M \, & P \, & U \, & \, T \, & \, E \, & R \, \\ \end{array} } \\ {\begin{array}{*{20}{c}} C \\ O \\ M \\ P \\ U \\ T \\ E \\ R \\ \end{array} } & {\boxed{\begin{array}{*{20}{c}} C & O & M & P & U & T & E & R \\ O & M & P & C & R & E & U & T\\ M & P & C & O & T & U & R & E\\ P & C & O & M & E & R & T & U\\ U & E & T & R & C & M & O & P\\ T & R & U & E & M & C & P & O\\ E & T & R & U & P & O & C & M\\ R & U & E & T & O & P & M & C\\ \end{array} }} \\ \end{array}$$

Biorąc pod uwagę wejścia E i P, powinieneś wypisać U. Twoje dane wejściowe będą zawsze składały się z dwóch liter C, O, M, P, U, T, E, R, a twoja informacja wyjściowa powinna zawsze być jedną z tych liter.

Tabela tekstowa do kopiowania

1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 8 7 5 6
3 4 1 2 6 5 8 7
4 1 2 3 7 8 6 5
5 7 6 8 1 3 2 4
6 8 5 7 3 1 4 2
7 6 8 5 4 2 1 3
8 5 7 6 2 4 3 1

Rubinowy , 18 bajtów

->a,b{a+b*~0**a&7}

Nie golfił

->a,b{ (a+b*(-1)**a) % 8}  
# for operator precedence reasons, 
#-1 is represented as ~0 in the golfed version 

Wypróbuj online!

Wykorzystuje następujące numery kodowe od 0 do 7

Aby natywny dla kodu:

Native     Effect                    Codes per
Code                                 Question
0          rotate 0 anticlockwise    1C
1 /        flip in y=x               7E
2 /|       rotate 90 anticlockwise   2O
3 /|/      flip in x axis            5U
4 /|/|     rotate 180 anticlockwise  3M
5 /|/|/    flip in y=-x              8R
6 /|/|/|   rotate 270 anticlockwise  4P
7 /|/|/|/  flip in y axis            6T

W porządku według pytania

Native     Effect                    Codes per
Code                                 Question
0          rotate 0 anticlockwise    1C
2 /|       rotate 90 anticlockwise   2O
4 /|/|     rotate 180 anticlockwise  3M
6 /|/|/|   rotate 270 anticlockwise  4P
3 /|/      flip in x axis            5U
7 /|/|/|/  flip in y axis            6T
1 /        flip in y=x               7E
5 /|/|/    flip in y=-x              8R

Wyjaśnienie

/reprezentuje przewrót w linii y=xi |reprezentuje przewrót w osi y.

Jest to możliwe, w celu wytworzenia dowolnego symetrii grupy D4 naprzemian odbijania w tych dwóch liniach, na przykład /, a następnie |daje /|który jest obrót o 90 stopni w kierunku przeciwnym.

Całkowita liczba kolejnych rzutów daje bardzo dogodną reprezentację do manipulacji arytmetycznych.

Jeśli pierwszym ruchem jest obrót, możemy po prostu dodać liczbę przewrotów:

Rotate 90 degrees   +  Rotate 180 degrees = Rotate 270 degrees
/|                     /|/|                 /|/|/|

Rotate 90 degress   +  Flip in y=x        = Flip in x axis   
/|                    /                     /|/

Jeśli pierwszy ruch jest odbiciem, okaże się, że mamy identyczne odbicia /i |symbole obok siebie. Ponieważ odbicie jest odwrotne do siebie, możemy anulować te przerzuty jeden po drugim. Musimy więc odjąć jeden ruch od drugiego

Flip in x axis     +  Flip in y=x        = Rotate 90 degrees
/|/                   /                    /|/ / (cancels to) /|

Flip in x axis     +  Rotate 90 degrees  = Flip in y=x
/|/                   /|                   /|/ /| (cancels to ) / 

Wolfram Language (Mathematica) , 31 bajtów

Używając liczb całkowitych $0, 5, 2, 7, 1, 3, 6, 4$ jako etykiet.

BitXor[##,2Mod[#,2]⌊#2/4⌋]&

Wypróbuj online!

Wyjaśnienie:

Grupa Dihedral $D_4$ jest izomorficzny w unitriangular grupy matrycy na trzecim stopniu pola$\mathbb{F}_2$ :

$$D_4 \cong U(3,2) := \left\{\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \mid a,b,c \in \mathbb{F}_2\right\}.$$

I mamy

$$\begin{pmatrix} 1 & a_1 & b_1 \\ 0 & 1 & c_1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & a_2 & b_2 \\ 0 & 1 & c_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a_1+a_2 & b_1+b_2+a_1c_2 \\ 0 & 1 & c_1+c_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$$

które można łatwo zapisać w operacjach bitowych.

Wolfram Language (Mathematica) , 51 bajtów

⌊#/4^IntegerDigits[#2,4,4]⌋~Mod~4~FromDigits~4&

Wypróbuj online!

Korzystanie z etykiet {228, 57, 78, 147, 27, 177, 198, 108}.

Są {3210, 0321, 1032, 2103, 0123, 2301, 3012, 1230}w bazie 4. Na szczęście 256 = 4 ^ 4.

---

Implementacja niższego poziomu, również 51 bajtów

Sum[4^i⌊#/4^⌊#2/4^i⌋~Mod~4⌋~Mod~4,{i,0,3}]&

Wypróbuj online!

Python 2 , 22 bajty

$0, 6, 1, 7, 2, 3, 5, 4$ jako etykiety.

lambda a,b:a^b^a/2&b/4

Wypróbuj online!

Python 2 , 26 23 21 bajtów

lambda x,y:y+x*7**y&7

Wypróbuj online! Port mojej odpowiedzi dla Cayley Table of the Dihedral Group$D_3$. Edycja: Zapisano 3 bajty dzięki @NieDzejkob. Zaoszczędzono 2 bajty dzięki @xnor za sugerowanie and(raczej niż xnor) operatora. Wykorzystuje następujące mapowanie:

 id | r1 | r2 | r3 | s0 | s1 | s2 | s3 
----+----+----+----+----+----+----+----
 0  | 2  | 4  | 6  | 1  | 3  | 5  | 7  

TI-BASIC, 165 bajtów

Ans→L₁:{.12345678,.23417865,.34126587,.41238756,.58671342,.67583124,.75862413,.86754231→L₂:For(I,1,8:10fPart(.1int(L₂(I)₁₀^(seq(X,X,1,8:List▶matr(Ans,[B]:If I=1:[B]→[A]:If I-1:augment([A],[B]→[A]:End:[A](L₁(1),L₁(2

Dane wejściowe to lista długości dwóch cali Ans.
Dane wyjściowe to liczba pod (row, column)indeksem w tabeli.

Mogłaby istnieć lepsza metoda kompresji, która oszczędziłaby bajty, ale będę musiał to sprawdzić.

Przykłady:

{1,2
           {1 2}
prgmCDGF1B
               2
{7,4
           {7 4}
prgmCDGF1B
               5

Objaśnienie:
(Dla ułatwienia dodano nowe linie).

Ans→L₁                              ;store the input list into L₁
{.123456 ... →L₂                    ;store the compressed matrix into L₂
                                    ; (line shortened for brevity)
For(I,1,8                           ;loop 8 times
10fPart(.1int(L₂(I)₁₀^(seq(X,X,1,8  ;decompress the "I"-th column of the matrix
List▶matr(Ans,[B]                   ;convert the resulting list into a matrix column and
                                    ; then store it into the "[B]" matrix variable
If I=1                              ;if the loop has just started...
[B]→[A]                             ;then store this column into "[A]", another matrix
                                    ; variable
If I-1                              ;otherwise...
augment([A],[B]→[A]                 ;append this column onto "[A]"
End
[A](L₁(1),L₁(2                      ;get the index and keep it in "Ans"
                                    ;implicit print of "Ans"

Oto 155 bajtów rozwiązanie, ale po prostu koduje matrycę i pobiera indeks.
Uważam, że jest to bardziej nudne, więc nie uczyniłem tego moim oficjalnym oświadczeniem:

Ans→L₁:[[1,2,3,4,5,6,7,8][2,3,4,1,8,7,5,6][3,4,1,2,6,5,8,7][4,1,2,3,7,8,6,5][5,7,6,8,1,3,2,4][6,8,5,7,3,1,4,2][7,6,8,5,4,2,1,3][8,5,7,6,2,4,3,1:Ans(L₁(1),L₁(2

---

Uwaga: TI-BASIC jest językiem tokenizowanym. Liczba znaków nie jest równa liczbie bajtów.

Galaretka , 6 bajtów

N⁹¡+%8

Diadadic Link akceptujący pierwszą transformację po prawej stronie i drugą transformację po lewej stronie, która daje transformację złożoną.

Gdzie są transformacje:

as in question:  1    2    3    4    5    6    7    8
transformation: id  90a  180  90c  hor  ver  +ve  -ve
  code's label:  0    2    4    6    1    5    7    3

Wypróbuj online! ... Lub zobacz tabelę odwzorowaną z powrotem na etykiety w pytaniu .

(Argumenty można przyjmować w innej kolejności przy użyciu 6 bajtów, _+Ḃ?%8 ).

W jaki sposób?

Każda etykieta ma długość sekwencji na przemian hori +vetransformacji, która jest równoważna transformacji (np. 180Jest równoważna zhor, +ve, hor, +ve ).

Kompozycja A,B jest równoważna konkatenacji dwóch równoważnych sekwencji i umożliwia uproszczenie odejmowania lub dodawania modulo osiem ...

Na 7, 4przykładzie tego pytania mamy+ve, 90c :
hor, +ve, hor, +ve, hor, +ve, hor , hor, +ve, hor, +ve, hor, +ve

... ale skoro hor, horto idmamy:
hor, +ve, hor, +ve, hor, +ve , +ve, hor, +ve, hor, +ve

... a ponieważ +ve, +veto idmamy:
hor, +ve, hor, +ve, hor , hor, +ve, hor, +ve

... i możemy powtórzyć te anulowania w celu: ..
hor
równoważnego do odjęcia długości (7-6=1 ).

Gdy anulowanie nie jest możliwe, dodajemy tylko długości (np 90a, 180 $\rightarrow$ 2+4=6 $\rightarrow$ 90c).

Na koniec zauważmy, że sekwencja długości ósemkowej idpozwala nam wziąć wynikową długość modulo osiem.

N⁹¡+%8 - Link: B, A
  ¡    - repeat (applied to chain's left argument, B)...
 ⁹     - ...times: chain's right argument, A
N      - ...action: negate  ...i.e. B if A is even, otherwise -B
   +   - add (A)
    %8 - modulo eight

---

Jest także o 1 bajt krótszy niż ta implementacja za pomocą indeksów permutacyjnych leksykograficznych:

œ?@ƒ4Œ¿

... monadyczny link akceptujący [first, second], z etykietami:

as in question:  1    2    3    4    5    6    7    8
transformation: id  90a  180  90c  hor  ver  +ve  -ve
  code's label:  1   10   17   19   24    8   15    6

JavaScript (Node.js) , 22 17 bajtów

(x,y)=>y+x*7**y&7

Wypróbuj online! Port mojej odpowiedzi dla Cayley Table of the Dihedral Group$D_3$ale grałem w golfa, korzystając z sugestii zawartych w mojej odpowiedzi w języku Python. Wykorzystuje następujące mapowanie:

 id | r1 | r2 | r3 | s0 | s1 | s2 | s3 
----+----+----+----+----+----+----+----
 0  | 2  | 4  | 6  | 1  | 3  | 5  | 7  

Starsze wersje JavaScript mogą być obsługiwane na wiele sposobów dla 22 bajtów:

(x,y)=>(y&1?y-x:y+x)&7
(x,y)=>y-x*(y&1||-1)&7
(x,y)=>y+x*(y<<31|1)&7

Rdza , 16 bajtów

|a,b|a^b^a/2&b/4

Wypróbuj online!

Port odpowiedzi Pythona na alephalpha. Ale krócej.

Wiąz , 42 bajty 19 bajtów

\a b->and 7<|b+a*7^b

Wersja Neode 's Node.js

Wypróbuj online

Poprzednia wersja:

\a b->and 7<|if and 1 a>0 then a-b else a+b

Python, 82 71 bajtów

0-7

-11 bajty dzięki ASCII tylko

lambda a,b:int("27pwpxvfcobhkyqu1wrun3nu1fih0x8svriq0",36)>>3*(a*8+b)&7

TIO

Scala , 161 bajtów

Wybór KOMPUTERA jako etykiet.

val m="0123456712307645230154763012675446570213574620316574310274651320"
val s="COMPUTER"
val l=s.zipWithIndex.toMap
def f(a: Char, b: Char)=s(m(l(a)*8+l(b))-48)

Wypróbuj online!

Scala , 70 bajtów

Wybór 0-7 natywnych liczb całkowitych jako etykiet.

Skompresowano macierz na 32-bajtowy ciąg ASCII, każda para liczb n0, n1 na 1 znak c = n0 + 8 * n1 + 49. Począwszy od 49 do tego, że nie mamy \ w zakodowanym ciągu.

(a:Int,b:Int)=>"9K]oB4h]K9Vh4BoVenAJne3<_X<AX_J3"(a*4+b/2)-49>>b%2*3&7

Wypróbuj online!

C # (interaktywny kompilator Visual C #) , 17 bajtów

a=>b=>a^b^a/2&b/4

Port Alpehalpha's Python answer.

Wypróbuj online!

Perl 6 , 19 bajtów

{($^x*7**$^y+$y)%8}

Rozwiązanie Python dla portu Neila .

Wypróbuj online!

Wolfram Language (Mathematica), 7 bajtów (kodowanie UTF-8)

#⊙#2&

Czysta funkcja przyjmująca dwa argumenty. Symbol renderowany tutaj, tak jak w ⊙rzeczywistości jest prywatnym symbolem Mathematica F3DE (3 bajty), który reprezentuje funkcję PermutationProduct.

Mathematica wie o grupach dwuściennych i reprezentuje elementy różnych grup jako permutacje, napisane za pomocą Cyclespolecenia. Na przykład uruchomienie polecenia

GroupElements[DihedralGroup[4]]

daje wynik:

{Cycles[{}], Cycles[{{2, 4}}], Cycles[{{1, 2}, {3, 4}}], 
 Cycles[{{1, 2, 3, 4}}], Cycles[{{1, 3}}], Cycles[{{1, 3}, {2, 4}}], 
 Cycles[{{1, 4, 3, 2}}], Cycles[{{1, 4}, {2, 3}}]}

PermutationProduct to funkcja, która zwielokrotnia elementy grupy, gdy są zapisane w tym formularzu.

Ponieważ możemy wybierać własne etykiety, ta funkcja zakłada te etykiety dla elementów grupy; przydział między tymi etykietami a etykietami w stanowisku problemowym jest określony przez:

Cycles[{}] -> 1
Cycles[{{1, 2, 3, 4}}] -> 2
Cycles[{{1, 3}, {2, 4}}] -> 3
Cycles[{{1, 4, 3, 2}}] -> 4
Cycles[{{2, 4}}] -> 5
Cycles[{{1, 3}}] -> 6
Cycles[{{1, 2}, {3, 4}}] -> 7
Cycles[{{1, 4}, {2, 3}}] -> 8

tl; dr Jest wbudowany.