Jaka to jest skończona grupa abelowa?

12

Opis

Napisz funkcję, f(m, G)która przyjmuje jako argumenty odwzorowanie mi zestaw / listę odrębnych, nieujemnych liczb całkowitych G.

mpowinien mapować pary liczb całkowitych Gna nowe liczby całkowite w G. ( G, m) gwarantuje utworzenie skończonej grupy abelowej , ale dowolnym elementem Gmoże być tożsamość.

Istnieje ważne twierdzenie, które mówi:

[Każda skończona grupa abelowa] jest izomorficzna w stosunku do bezpośredniego iloczynu cyklicznych grup rzędu mocy pierwotnej.

fmusi zwrócić listę głównych mocy [p1, ... pn]w porządku rosnącym, tak abyG jest izomorficzny do Z_p1 razy ... razy Z_pn

Przykłady

  • f((a, b) → (a+b) mod 4, [0, 1, 2, 3])powinien powrócić [4], ponieważ parametry opisują grupę Z 4 .

  • f((a, b) → a xor b, [0, 1, 2, 3])powinien powrócić [2, 2], ponieważ parametry opisują grupę izomorficzną do Z 2 × Z 2 .

  • f((a, b) → a, [9])powinien powrócić [], ponieważ parametry opisują trywialną grupę; tj. iloczyn zerowych grup cyklicznych.

  • Zdefiniuj mw następujący sposób:

    (a, b) → (a mod 3 + b mod 3) mod 3
       + ((floor(a / 3) + floor(b / 3)) mod 3) * 3
       + ((floor(a / 9) + floor(b / 9)) mod 9) * 9

    Następnie f(m, [0, 1, ..., 80])powinien wrócić [3, 3, 9], ponieważ ta grupa jest izomorficzna do Z 3 × Z 3 × Z 9

Zasady

  • mmoże być funkcją (lub wskaźnikiem funkcji do jakiejś funkcji) Int × Int → Intlub parowaniem słownika G × Gna nowe elementy G.

  • fmoże przyjmować swoje parametry w odwrotnej kolejności, tzn. możesz także zaimplementować f(G, m).

  • Twoje wdrożenie powinno teoretycznie działać dla dowolnie dużych nakładów, ale tak naprawdę nie musi być wydajne.

  • Nie ma żadnych ograniczeń dotyczących korzystania z jakichkolwiek wbudowanych funkcji.

  • Obowiązują standardowe zasady gry w golfa . Najkrótszy kod w bajtach wygrywa.

Tabela liderów

Twój wynik powinien pojawić się na tablicy, powinien mieć następujący format:

# Language, Bytes

Pokaż fragment kodu

code-golf math abstract-algebra Lynn
źródło
Jeśli mwolno ci być słownikiem, czy możesz podać przypadki testowe jako słowniki?
Martin Ender,
Rozważyłem to, ale są dość duże, szczególnie w ostatnim przypadku (tysiące par klucz-wartość) i nie mogę wymyślić dla nich bardzo dobrego formatu. Prawdopodobnie anonimowi łatwiej jest skopiować definicje funkcji, a następnie samodzielnie zbudować słowniki (z czymś podobnym for a in G: for b in G: d[(a, b)] = m(a, b)).
Lynn
Myślę, że to prawda. Nie rozumiem twojej pasty wystarczająco dobrze, aby zweryfikować, co się dzieje, ale to powinno to udowodnić: bpaste.net/show/5821182a9b48
Lynn
Aby pomóc ci owinąć głowę: działa na liczbach trójkowych z tritami w formacie AABC, traktując je jako potrójne (A, B, C), z modulo dodawania parami (9, 3, 3).
Lynn
Och, właśnie zdałem sobie sprawę z mojego (bardzo głupiego) błędu. Dziękujemy za fragment!
flawr

Odpowiedzi:

5

Matlab, 326 bajtów

W przypadku niektórych teorii grup pomysł jest dość prosty: tutaj TL; DR Oblicz wszystkie możliwe rzędy elementów grupy. Następnie znajdź największą podgrupę określonego głównego rzędu mocy i „podziel na czynniki” z grupy, spłucz, powtórz.

function r=c(h,l)

                            %factorize group order
N=numel(L);
f=factor(N);
P=unique(f);                %prime factors
for k=1:numel(P);
    E(k)=sum(f==P(k));    %exponents of unique factors
end;

                            %calculate the order O of each element
O=L*0-1; 
l=L;
for k=2:N+1;

    l=h(l,L);

    O(l==L & O<0)=k-1
end;

%%

O=unique(O);               % (optional, just for speedupt)
R=[];
                           % for each prime,find the highest power that
                           % divides any of the orders of the element, and
                           % each time substract that from the remaining
                           % exponent in the prime factorization of the
                           % group order
for p=1:nnz(P);                          % loop over primes
    while E(p)>1;                        % loop over remaining exponent
        for e=E(p):-1:1;                 % find the highest exponent
            B=mod(O,P(p)^e)==0;          
            if any(B)
                R=[R,P(p)^e];            % if found, add to list
                O(B)=O(B)/(P(p)^e);
                E(p)=E(p)-e;
                break;
            end;
        end;
    end;
    if E(p)==1;
        R=[R,P(p)];
    end;
end;
r=sort(R)

Przykładowe dane wejściowe:

L = 0:3;
h=@(a,b)mod(a+b,4);
h=@(a,b)bitxor(a,b);
L = 0:80;
h=@(a,b)mod(mod(a,3)+mod(b,3),3)+mod(floor(a/3)+floor(b/3),3)*3+ mod(floor(a/9)+floor(b/9),9)*9;

Wersja golfowa:

function r=c(h,l);N=numel(L);f=factor(N);P=unique(f);for k=1:numel(P);E(k)=sum(f==P(k));end;O=L*0-1;l=L;for k=2:N+1;l=h(l,L);O(l==L&O<0)=k-1;end;R=[];for p=1:nnz(P);while E(p)>1;for e=E(p):-1:1;B=mod(O,P(p)^e)==0; if any(B);R=[R,P(p)^e]; O(B)=O(B)/(P(p)^e);E(p)=E(p)-e;break;end;end;end;if E(p)==1;R=[R,P(p)];end;end;r=sort(R)
wada
źródło
1

GAP , 159 111 bajtów

GAP pozwala nam po prostu zbudować grupę na podstawie tablicy mnożenia i obliczyć jej niezmienniki abelowe:

ai:=    # the golfed version states the function w/o assigning it
function(m,G)
  local t;
  t:=List(G,a->List(G,b->Position(G,m(a,b))));
  # t is inlined in the golfed version
  return AbelianInvariants(GroupByMultiplicationTable(t));
end;

Stara wersja

Ostatecznie przedstawiona grupa z generatorami G i relacjami a * b = m (a, b) (dla wszystkich a, b z G) to grupa (G, m), od której zaczęliśmy. Możemy go stworzyć i obliczyć jego niezmienne abelowe za pomocą GAP:

ai:=    # the golfed version states the function w/o assigning it
function(m,G)
  local F,n,rels;
  n:=Size(G);
  F:=FreeGroup(n);
  rels:=Union(Set([1..n],i->
                Set([1..n],j->
                  F.(i)*F.(j)/F.(Position(G,m(G[i],G[j]))) ) ));
  # rels is inlined in the golfed version
  return AbelianInvariants(F/rels);
end;

Przykłady

m1:=function(a,b) return (a+b) mod 4; end;
# I don't feel like implementing xor
m3:=function(a,b) return 9; end;
m4:=function(a,b)
  return (a+b) mod 3 # no need for inner mod
         + ((QuoInt(a,3)+QuoInt(b,3)) mod 3) * 3
         + ((QuoInt(a,9)+QuoInt(b,9)) mod 9) * 9;
  end;

Teraz możemy zrobić:

gap> ai(m1,[0..3]);
[ 4 ]

W rzeczywistości nie jesteśmy ograniczeni do korzystania z list liczb całkowitych. Korzystając z właściwej domeny, możemy po prostu użyć ogólnego plus:

ai(\+,List(Integers mod 4));
[ 4 ]

Mogę więc zasadniczo zrobić drugi przykład, wykorzystując, że jego grupa jest izomorficzna w stosunku do grupy addytywnej dwuwymiarowej przestrzeni wektorowej nad polem z 2 elementami:

gap> ai(\+,List(GF(2)^2));
[ 2, 2 ]

I pozostałe przykłady:

gap> ai(m3,[9]);
[  ]
gap> ai(m4,[0..80]);
[ 3, 3, 9 ]

Dodatkowe uwagi

W starej wersji m nie musiał definiować składu grupy dla G. Jeśli m (a, b) = m (a, c), to tylko mówi, że b = c. Więc moglibyśmy zrobić ai(m1,[0..5])i ai(m3,[5..15]). Nowa wersja zawiedzie okropnie w tych przypadkach, podobnie jak obie wersje, jeśli m zwróci wartości, które nie są w G.

Jeśli (G, m) nie jest abelowa, otrzymujemy opis jego abelianizowanej wersji, czyli największej grupy czynników abelowych:

gap> ai(\*,List(SymmetricGroup(4)));
[ 2 ]

To jest AbelianInvariantszwykle używane, zwykle dzwonilibyśmy AbelianInvariants(SymmetricGroup(4)).

Wersja golfowa

function(m,G)return AbelianInvariants(GroupByMultiplicationTable(List(G,a->List(G,b->Position(G,m(a,b))))));end
Christian Sievers
źródło