Wprowadzenie

Dwa najbardziej popularne funkcje trygonometryczne, sinei cosine(lub sini coskrócej), może być rozszerzone do funkcji matrycy wartościach. Jednym ze sposobów obliczenia analogów wycenianych w macierzy jest:

Rozważ te dwie ważne tożsamości trygonometryczne:

Używając tych tożsamości, możemy wyprowadzić następujące równania dla sini cos:

Wykładniczy matrycy istnieje dla matryc kwadratowych i jest przez:

gdzie ⁰ jest macierz identyczności I o tych samych wymiarach jak A . Korzystając z macierzy wykładniczej, te dwie funkcje trygonometryczne (a zatem wszystkie pozostałe funkcje trygonometryczne) można ocenić jako funkcje macierzy.

Wyzwanie

Biorąc pod uwagę macierz kwadratową A , wypisz wartości sin(A)i cos(A).

Zasady

• Dane wejściowe i wyjściowe mogą być w dowolnym dogodnym, rozsądnym formacie (macierz 2D, format macierzy języka itp.).
• Możesz napisać pojedynczy program, dwa niezależne programy, jedną funkcję lub dwie funkcje. Jeśli zdecydujesz się napisać dwie funkcje, kod może być współdzielony między nimi (np. Funkcje importu i pomocnicze).
• Wartościami macierzy wejściowej zawsze będą liczby całkowite.
• Twoje rozwiązanie może mieć problemy z dokładnością w wyniku niedokładności zmiennoprzecinkowej. Jeśli twój język ma magiczne wartości nieskończonej precyzji, twoje rozwiązanie powinno działać idealnie (ignorując fakt, że wymagałoby to nieskończonego czasu i / lub pamięci). Ponieważ jednak te magiczne wartości nieskończonej precyzji nie istnieją, niedokładności spowodowane ograniczoną precyzją są dopuszczalne. Zasada ta ma na celu uniknięcie komplikacji wynikających z wymagania określonej precyzji w danych wyjściowych.
• Wbudowane funkcje obliczające funkcje trygonometryczne dla argumentów macierzy (w tym hiperboliczne funkcje wyzwalania) są niedozwolone. Inne wbudowane macierze (takie jak mnożenie, potęgowanie, diagonalizacja, rozkład i wykładniczy macierz) są dozwolone.

Przypadki testowe

Format: A -> sin(A), cos(A)

[[0]] -> [[0]], [[1]]
[[0, 2], [3, 5]] -> [[-0.761177343863758, 0.160587281888277], [0.240880922832416, -0.359709139143065]], [[0.600283445979886, 0.119962280223493], [0.179943420335240, 0.900189146538619]]
[[1, 0, 1], [0, 0, 0], [0, 1, 0]] -> [[0.841470984807897, -0.158529015192103, 0.841470984807897], [0, 0, 0], [0, 1, 0]], [[0.540302305868140, -0.459697694131860, -0.459697694131860], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]
[[1, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 1]] -> [[0.841470984807897, 0, 0, 0, 0], [0, 0.841470984807897, 0, 0, 0], [0, 0, 0.841470984807897, 0, 0], [0, 0, 0, 0.841470984807897, 0], [0, 0, 0, 0, 0.841470984807897]], [[0.540302305868140, 0, 0, 0, 0], [0, 0.540302305868140, 0, 0, 0], [0, 0, 0.540302305868140, 0, 0], [0, 0, 0, 0.540302305868140, 0], [0, 0, 0, 0, 0.540302305868140]]
[[-3, 2, -6], [3, 0, 4], [4, -2, 7]] -> [[-0.374786510963954, 0.135652884035570, -1.35191037980742], [1.14843105375406, 0.773644542790111, 1.21625749577185], [1.21625749577185, -0.135652884035570, 2.19338136461532]], [[4.13614256031450, -1.91289828483056, 5.50873853927692], [-2.63939111203107, 1.49675144828342, -3.59584025444636], [-3.59584025444636, 1.91289828483056, -4.96843623340878]]

Dalsza lektura

To doskonałe pytanie w Math.SE obejmuje kilka alternatywnych pochodnych macierzy analogów funkcji trygonometrycznych.

Julia, 33 19 bajtów

A->reim(expm(A*im))

Jest to funkcja, która akceptuje dwuwymiarową tablicę liczb zmiennoprzecinkowych i zwraca krotkę takich tablic odpowiadających odpowiednio cosinus i sinus. Zauważ, że jest to odwrotność kolejności podanej w przypadkach testowych, w których sinus jest wymieniony jako pierwszy.

Dla macierzy A o wartościach rzeczywistych mamy

i

To znaczy, sinus i cosinus A odpowiadają wyobrażonym i rzeczywistym częściom macierzy wykładniczej e ^iA . Zobacz funkcje macierzy (Higham, 2008).

Wypróbuj online! (obejmuje wszystkie przypadki testowe)

Zaoszczędzono 14 bajtów dzięki Dennisowi!

Mathematica, 27 bajtów

{Im@#,Re@#}&@MatrixExp[I#]&

Na podstawie @ Rainer P. roztworu „s.

Bierze macierz kwadratową Ajako argument i wyświetla listę zawierającą {sin(A), cos(A)}.

Dane wejściowe są sformatowane w Ncelu otrzymania wartości liczbowych, zamiast długiego Dokładny wzór i Columnwyświetlanie wyników sin(A)i cos(A)w postaci oddzielnych matryc zamiast zagnieżdżonej listy.

Obliczanie wartości osobno wymaga 38 bajtów

{(#2-#)I,+##}/2&@@MatrixExp/@{I#,-I#}&

Galaretka , 23 22 bajtów

³æ*÷!
®Ḥ‘©r0Ç€s2_@/µÐL

Wypróbuj online!

tło

To podejście bezpośrednio oblicza szereg Taylora dla sinusa i cosinusa , tj.

Zwiększa liczbę początkowych składników obu serii, dopóki wynik się nie zmienia, więc jego dokładność jest ograniczona jedynie precyzją typu zmiennoprzecinkowego.

Jak to działa

®Ḥ‘©r0Ç€s2_@/µÐL  Main link, Argument: A (matrix)

             µÐL  Loop; apply the chain until the results are no longer unique.
                  Return the last unique result.
®                   Yield the value of the register (initially zero).
 Ḥ                  Unhalve/double it.
  ‘©                Increment and copy the result (n) to the register.
    r0              Range; yield [n, ..., 0].
      ǀ            Apply the helper link to each k in the range.
        s2          Split the results into chunks of length 2. Since n is always
                    odd, this yields [[Ç(n), Ç(n-1)], ..., [Ç(1), Ç(0)]].
          _@/       Reduce the columns of the result by swapped subtraction,
                    yielding [Ç(1) - Ç(3) + ... Ç(n), Ç(0) - Ç(2) + ... Ç(n - 1)].


³æ*÷!             Helper link. Argument: k (integer)

³                 Yield the first command-line argument (A).
 æ*               Elevate A to the k-th power.
    !             Yield the factorial of k.
   ÷              Divide the left result by the right one.

C ++, 305 bajtów

#include<cmath>
#include<iostream>
#include<vector>
int x,i=0, j;void p(std::vector<double> v){int x=sqrt(v.size());for(i=0;i<x;i++){for(j=0;j<x;j++) std::cout << v[x] << " ";std::cout << "\n";}}int main(){std::vector<double> s, c;while(std::cin >> x){s.push_back(sin(x));c.push_back(cos(x));}p(s);p(c);}

Dane wejściowe to lista liczb, które są idealnym kwadratem na standardowym wejściu. Wyjście to ładnie wydrukowana tablica 2d na standardowym wyjściu

Matlab, 138 121 52 50 bajtów

Ponieważ dozwolone jest potęgowanie macierzy (czego wcześniej nie zauważyłem, d'oh), nie muszę już definiować funkcji pomocnika, a całość można rozwiązać w trywialny sposób:

A=input('')*i;a=expm(A);b=expm(-A);[(b-a)*i,a+b]/2

Dane wejściowe powinny być macierzą, np. [1,2;4,5]Lub alternatywnie[[1,2];[3,4]]

Nieoczekiwaną rzeczą (z perspektywy czasu nie taką nieoczekiwaną) jest to, że macierz cosinus i sinus nadal spełnia

I = sin(A)^2+cos(A)^2

Matlab, 37 bajtów

@(A){imag(expm(i*A));real(expm(i*A))}

Julia 0.4, 28 bajtów

A->imag({E=expm(im*A),im*E})

Dane wejściowe to macierz liczb zmiennoprzecinkowych, dane wyjściowe to tablica macierzy. Wypróbuj online!

Sage, 44 bajty

lambda A:map(exp(I*A).apply_map,(imag,real))

Wypróbuj online .

Ta anonimowa funkcja zwraca listę 2 macierzy odpowiadających odpowiednio sin(A)i cos(A). exp(I*A)oblicza wykładniczą macierz dla I*A( Aze wszystkimi elementami pomnożonymi przez urojoną jednostkę) i matrix.apply_map(f)zwraca macierz, w której fzastosowano wszystkie jej elementy. Stosując imagi real(funkcje do uzyskiwania wyobrażonych i rzeczywistych części wartości skalarnej) do macierzy, otrzymujemy wartości sin(A)i cos(A)dzięki słynnej tożsamości Eulera (o której mowa w tekście wyzwania).