Czy istnieje kod binarny o długości 6, rozmiarze 32 i odległości 2?
9
Problem polega na udowodnieniu lub obaleniu istnienia , st, ; ; . ( oznacza odległość uderzenia)do| c | =6,∀c∈C| do| =32re(doja,dojot) ≥ 2 , 1 ≤ i < j ≤ 32re
Próbowałem skonstruować satysfakcjonujący kod. Najlepsze, co mogę uzyskać, to pozwolić , połączenie , która ma rozmiar 16. 32 to teoretyczna górna granica wielkości, teraz nie nie wiem, co robić dalej, aby rozwiązać problem.do=do′×do′do′= { 000 , 011 , 110 , 101 }
Tak, jest taki zestaw. Właściwie jesteś na dobrej drodze, aby znaleźć następujący przykład.
Niech . Możesz sprawdzić następujące elementy.do= { c : | c | = 6 i istnieje wiele nawet 1 c- }
| do| =32 .
re( u , v ) ≥ 2 dla wszystkich , . (W rzeczywistości lub 4 lub 6.)u , v ∈ C.u ≠ vre( u , v ) = 2
Oto cztery powiązane ćwiczenia, wymienione w kolejności rosnących trudności. Jak w pytaniu dotyczy tylko kodu binarnego.
Ćwiczenie 1. Podaj kolejny przykład zestawu 32 słów o długości 6 i odległości par co najmniej 2.
Ćwiczenie 2. Pokaż, że istnieją tylko dwa takie zestawy, jak podano w odpowiedzi i ćwiczeniu 1.
Ćwiczenie 3. Uogólnij powyższe na słowa o dowolnej długości i odległości w parach co najmniej 2. (Wskazówka, .)32 =2)6 - 1
Ćwiczenie 4. (dalsze uogólnienie określone w odpowiedzi Yuvala) Jeśli jest maksymalnym rozmiarem kodu o długości i minimalnej odległości pary , to .A ( n , d)nreA ( d, 2 d) = A ( n - 1 , 2 d- 1 )
Myślę, że może również wynosić 6, szczególnie dla i , ponieważ zarówno i ponieważ oba mają parzystą liczbę 1. A może coś mi brakuje? re( u , v )u = 000000v = 111111u ∈ C.v ∈ C.
siegi
@siegi, dzięki. Zaktualizowano
John L.
@Miangu Czy moja odpowiedź była pomocna? Czy zastanawiałeś się nad tym? (Ten komentarz zostanie usunięty po otrzymaniu opinii).
John L.
7
Wszystkie słowa o parzystej parzystości z kodu liniowego zawierającego słowa kodowe i minimalną odległość .2)n - 12)
Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli jest maksymalnym rozmiarem kodu o długości i minimalnej odległości , to .ZA2)( n , d)nreZA2)( n , 2 d) =ZA2)( n - 1 , 2 d- 1 )
Wszystkie słowa o parzystej parzystości z kodu liniowego zawierającego słowa kodowe i minimalną odległość .2)n - 1 2)
Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli jest maksymalnym rozmiarem kodu o długości i minimalnej odległości , to .ZA2)( n , d) n re ZA2)( n , 2 d) =ZA2)( n - 1 , 2 d- 1 )
źródło