Czy istnieje kod binarny o długości 6, rozmiarze 32 i odległości 2?

9

Problem polega na udowodnieniu lub obaleniu istnienia , st, ; ; . ( oznacza odległość uderzenia)C|c|=6,cC|C|=32d(ci,cj)2,1i<j32d

Próbowałem skonstruować satysfakcjonujący kod. Najlepsze, co mogę uzyskać, to pozwolić , połączenie , która ma rozmiar 16. 32 to teoretyczna górna granica wielkości, teraz nie nie wiem, co robić dalej, aby rozwiązać problem.C=C×Cdo={000,011,110,101}

Miangu
źródło

Odpowiedzi:

9

Tak, jest taki zestaw. Właściwie jesteś na dobrej drodze, aby znaleźć następujący przykład.

Niech . Możesz sprawdzić następujące elementy.do={do:|do|=6 i jest parzysta liczba 1 w c}

  • |do|=32 .
  • re(u,v)2) dla wszystkich , . (W rzeczywistości lub 4 lub 6.)u,vdouvre(u,v)=2)

Oto cztery powiązane ćwiczenia, wymienione w kolejności rosnących trudności. Jak w pytaniu dotyczy tylko kodu binarnego.

Ćwiczenie 1. Podaj kolejny przykład zestawu 32 słów o długości 6 i odległości par co najmniej 2.

Ćwiczenie 2. Pokaż, że istnieją tylko dwa takie zestawy, jak podano w odpowiedzi i ćwiczeniu 1.

Ćwiczenie 3. Uogólnij powyższe na słowa o dowolnej długości i odległości w parach co najmniej 2. (Wskazówka, .)32=2)6-1

Ćwiczenie 4. (dalsze uogólnienie określone w odpowiedzi Yuvala) Jeśli jest maksymalnym rozmiarem kodu o długości i minimalnej odległości pary , to .ZA(n,re)nreZA(re,2)re)=ZA(n-1,2)re-1)

John L.
źródło
1
Myślę, że może również wynosić 6, szczególnie dla i , ponieważ zarówno i ponieważ oba mają parzystą liczbę 1. A może coś mi brakuje? re(u,v)u=000000v=111111udovdo
siegi
@siegi, dzięki. Zaktualizowano
John L.
@Miangu Czy moja odpowiedź była pomocna? Czy zastanawiałeś się nad tym? (Ten komentarz zostanie usunięty po otrzymaniu opinii).
John L.
7

Wszystkie słowa o parzystej parzystości z kodu liniowego zawierającego słowa kodowe i minimalną odległość .2)n-12)

Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli jest maksymalnym rozmiarem kodu o długości i minimalnej odległości , to .ZA2)(n,re)nreZA2)(n,2)re)=ZA2)(n-1,2)re-1)

Yuval Filmus
źródło
1
Niezły fakt, głosowano. Nawiasem mówiąc, dlaczego nie tylko zamiast ? Och, dwie litery. ZA(n,re)ZA2)(n,re)
John L.
1
Indeks dolny oznacza pole . fa2)
Yuval Filmus