Skonstruuj dwie funkcje

Skonstruuj dwie funkcje spełniające:$f,g: R^+ → R^+$

1. $f, g$ są ciągłe;
2. $f, g$ wzrastają monotonicznie;
3. $f \ne O(g)$ i .$g \ne O(f)$

Istnieje wiele przykładów takich funkcji. Być może najłatwiejszym sposobem, aby zrozumieć, jak uzyskać taki przykład, jest ręczne skonstruowanie go.

Zacznijmy od funkcji nad liczbami naturalnymi, ponieważ można je ciągle uzupełniać do liczb rzeczywistych.

Dobrym sposobem na zapewnienie $f\neq O(g)$ i $g\neq O(f)$ ma na przemian między ich rzędów wielkości. Na przykład moglibyśmy zdefiniować

$f(n)=\begin{cases} n & n \text{ is odd}\\ n^2 & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

Następnie mogliśmy $g$ zachowywać przeciwnej na kursie i wyrównuje. Nie działa to jednak dla ciebie, ponieważ funkcje te nie zwiększają monotonicznie.

Jednak wybór był nieco arbitralny i moglibyśmy po prostu zwiększyć wielkości, aby uzyskać monotoniczność. W ten sposób możemy wymyślić:$n,n^2$

, a g ( n ) = { n 2 n - 1 n  jest nieparzysty n 2 n n $f(n)=\begin{cases} n^{2n} & n \text{ is odd}\\ n^{2n-1} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$$g(n)=\begin{cases} n^{2n-1} & n \text{ is odd}\\ n^{2n} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

Oczywiście są to funkcje monotoniczne. Również , ponieważ na nieparzystych liczbach całkowitych f zachowuje się jak n 2 n, podczas gdy g zachowuje się jak n 2 n - 1 = n 2 n / n = o ( n 2 n ) , i odwrotnie, na równi.$f(n)\neq O(g(n))$$f$$n^{2n}$$g$$n^{2n-1}=n^{2n}/n=o(n^{2n})$

Teraz wystarczy uzupełnić je do liczb rzeczywistych (np. Dodając części liniowe między liczbami całkowitymi, ale to naprawdę nie ma sensu).

Ponadto, skoro masz już ten pomysł, możesz użyć funkcji trygonometrycznych, aby skonstruować `` zamknięte formuły '' dla takich funkcji, ponieważ i cos oscylują, a szczyt na przemiennych punktach.$\sin$$\cos$

Dobra ilustracja dla mnie to: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29%2B2x%2C+cos%28x%29%2B2x

g ( n ) = 2 x + c o s ( x ) f ≠ O ( g ) g ≠ O ( f