Ostatnie pytanie egzaminacyjne brzmiało następująco:
- jest nieskończonym zestawem rekurencyjnie wyliczalnym. Wykazać, że A ma nieskończony rekurencyjny podzbiór.
- Niech jest nieskończony rekurencyjne podzbiór A . Czy C musi mieć podzbiór, którego nie można wyliczyć rekurencyjnie?
Odpowiedziałem już 1.. W odniesieniu do 2. odpowiedziałem twierdząco i twierdziłem, co następuje.
Załóżmy, że wszystkie podzbiory były rekurencyjnie policzalne. Ponieważ C jest nieskończony, zestaw mocy C jest niepoliczalny, więc z założenia byłoby niepoliczalnie wiele zbiorów rekurencyjnie policzalnych. Ale rekurencyjnie policzalne zestawy są w bezpośredniej korespondencji z maszynami Turinga, które je rozpoznają, a maszyny Turinga są policzalne. Sprzeczność. Zatem C musi mieć podzbiór, który nie jest wymienny rekurencyjnie.
Czy to jest poprawne?
computability
check-my-proof
użytkownik1435
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Jest poprawna.
Każdy zestaw nieskończony ma niezdecydowany podzbiór, możesz użyć argumentu liczności: . W rzeczywistości większość jego podzbiorów jest nierozstrzygalna (i można zastąpić niezdecydowaną dowolną policzalną klasą języków, np.Arytmetyczną,analityczną, ...).ℵ0≤ C⟹ℵ0< 2do
Złe w tym argumencie jest to, że nie podaje on żadnych informacji o tym, jak trudny jest ten podzbiór. Zwykle chcemy podzestawu, który jest tak łatwy, jak to możliwe. Jednym ze sposobów na uzyskanie tego jest użycie diagonalizacji podobnej do argumentu liczności przy użyciu faktu, że jest rozstrzygalne:do
Określić , gdzie W i jest i ty zestaw CE. Oczywiście D ⊆ C . Ponadto D można rozwiązać za pomocą wyroczni dla C i K = { i ∣ i ∉ W i } . Jeśli więc C jest rozstrzygalne, D jest językiem biura.D = { i ∈ C∣ i ∉ W.ja} W.ja ja D ⊆ C re do K.= { i ∣ i ∉ Wja} do re
źródło