Obliczanie macierzy odwrotnej przy zmianie elementu

Biorąc pod uwagę macierzy . Niech macierz odwrotna do będzie (to znaczy, ). Załóżmy, że jeden element w został zmieniony (powiedzmy na ). Celem jest znalezienie po tej zmianie. Czy istnieje metoda znalezienia tego celu, który jest bardziej wydajny niż ponowne obliczenie macierzy odwrotnej od zera.A A A - 1 A A - 1 = I A a i j a ′ i $n \times n$$\mathbf{A}$$\mathbf{A}$$\mathbf{A}^{-1}$$\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$$\mathbf{A}$$a _{ij}$$a' _{ij}$$\mathbf{A}^{-1}$

Formuła Sherman-Morrison może pomóc:

Niech oraz , gdzie jest standardowym wektorem kolumny podstawowej. Możesz sprawdzić, czy jeśli zaktualizowana macierz to to v = e j e i A ′ A ′ - 1 = A - 1 - ( a ′ i j - a i j ) A - 1 i → A - 1 T ↓ $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$$v = e_j$$e_i$$A'$

Zmiana pojedynczego elementu, podana z A - 1 , może być śledzona z aktualizacją rangi 1. Tak, absolutnie, istnieje lepszy sposób niż ponowne obliczenie odwrotności od zera.$A$$A^{-1}$

Niech będzie zmianą elementu a i j . Używanie e I a wektora kolumny jednostkową jeden w ı położenia i zerami poza nią, że ma ( A + e ı hemibursztynianu e ⊤ j ), A - 1 = I + e ı hemibursztynianu e ⊤ j A - $\delta = a_{ij}' - a_{ij}$$a_{ij}$$e_i$$i$

macierz zero, z wyjątkiem wartości hemibursztynianu w ı j pozycji. Czy widzisz tutaj, jak odpowiednie pomnożenie rangi jednej przez A - 1 może dać pożądaną nową odwrotność? (Lub równoważnie, elementarne operacje na kolumnach na A - 1 ).$e_i \delta e_j^\top$$\delta$$ij$$A^{-1}$$A^{-1}$

Lub jeśli zamiast tego chcesz wykonać operacje na wierszach, możesz użyć

$A^{-1}$