Czy wystarczy, aby ograniczenia programu liniowego były spełnione w oczekiwaniu?

14

W artykule Randomized Primal-Dual analiza RANKING dla Online Dwustronnego dopasowywania , udowadniając jednocześnie, że algorytm RANKING jest -konkurencyjne, autorzy pokazują, że dualność jest wykonalna w oczekiwaniu (patrz Lemat 3 na stronie 5). Moje pytanie brzmi:(11e)

Czy wystarczy, aby ograniczenia programu liniowego były spełnione w oczekiwaniu?

Jedną rzeczą jest wykazanie, że oczekiwana wartość funkcji celu jest czymś. Ale jeśli ograniczenia wykonalności zostaną spełnione w oczekiwaniu, nie ma gwarancji, że zostaną spełnione w danym przebiegu. Ponadto istnieje wiele takich ograniczeń. Więc jaka jest gwarancja, że WSZYSTKO z nich zostaną spełnione w danym przebiegu?

Arindam Pal
źródło
1
Pomocne może być przeczytanie krótkiego postu na blogu Claire Mathieu na temat tej analizy. Kluczowe zdanie brzmi: „Dowodzi to wykonalności średniej liczby podwójnej”. (Podwójne rozwiązanie, którego naprawdę używasz, i które jest wykonalne, jest średnią z analiz dualnych w analizie.)
Neal Young,
1
zwróć uwagę, że odpowiedź na twoje pytanie brzmi również tak, w tym sensie, że jeśli ograniczenia liniowe są spełnione w oczekiwaniu, wówczas rozwiązanie podane przez przypisanie każdej zmiennej jej oczekiwanej wartości jest wykonalne (i ma koszt równy kosztowi oczekiwanemu). cuda liniowości oczekiwań;)
Sasho Nikolov,
Dzięki usul, Neal i Sasho za wyjaśnienie tej subtelnej kwestii.
Arindam Pal

Odpowiedzi:

19

Myślę, że trudność polega na tym, że to sformułowanie jest nieco mylące; jak podkreślono jaśniej we wstępie (1.2), „oczekiwane wartości zmiennych podwójnych stanowią możliwe podwójne rozwiązanie”.

Dla każdego ustalonego ustawienia zmiennych podwójnych uzyskujemy pewne pierwotne rozwiązanie wartości f ( X ) i podwójne rozwiązanie wartości eXf(X)ee1f(X)

E[f(X)]mi[X]mimi-1fa(mi[X])fa(X)Xαjaβjotjajot(mi-1mi)(αja+βjot)do pierwotnego celu. Więcmi[fa(X)]=fa(mi[X]) i wniosek jest następujący.

(Na marginesie uważam, że ponieważ ten punkt jest jednym z głównych tematów ich pracy (zgodnie ze streszczeniem), byłoby lepiej, gdyby wyjaśnili ten punkt! To wcale nie wydaje się oczywiste ja i chciałbym dowiedzieć się, kiedy to jest bardziej ogólnie.)

usul
źródło
2
bardzo ładna odpowiedź.
Suresh Venkat,