Czy można sprawdzić, czy sekwencja istnieje w czasie wielomianowym w następującym problemie?

Przez jakiś czas myślałem o następującym problemie i nie znalazłem rozwiązania wielomianowego. Tylko brutalne źródło. Próbowałem też zredukować problem NP-Complete bez powodzenia.

Oto problem :

Masz posortowany zestaw $\{(A_1, B_1), (A_2, B_2), \ldots, (A_n, B_n)\}$ par dodatnich liczb całkowitych.

$(A_i, B_i) < (A_j, B_j) \Leftrightarrow A_i < A_j \lor (A_i = A_j \land B_i < B_j)$ $(A_i, B_i) = (A_j, B_j) \Leftrightarrow A_i = A_j \land B_i = B_j$

Poniższy operacja może być zastosowana do pary: Swap(pair). Zamienia elementy pary, więc $(10, 50)$ stanie się $(50, 10)$

Kiedy para w zestawie zostanie zamieniona, zestaw zostanie automatycznie ponownie posortowany (zamieniona para jest nie na miejscu i zostanie przeniesiona na swoje miejsce w zestawie).

Problem polega na sprawdzeniu, czy istnieje sekwencja, która, zaczynając od jakiejś pary, zamienia cały zestaw, z następującym warunkiem:

Po zamianie pary następna para do zamiany musi być albo następcą, albo poprzednią parą w zestawie.

Byłoby wspaniale znaleźć rozwiązanie problemu wielomianowego w czasie lub zredukować do niego problem NP-Complete.

Uwaga:
to już problem decyzyjny. Nie chcę wiedzieć, która sekwencja jest: tylko jeśli sekwencja istnieje.

Przykład sortowania zestawu po zamianie pary

$\textbf{(6, 5)}$
$(1,2)$
$(3,4)$
$(7,8)$

Jeśli zamienię pierwszą parę, staje się to: $(5,6)$ , a po posortowaniu zestawu (umieszczeniu posortowanej pary w nowej pozycji) mamy:

$(1,2)$
$(3,4)$
$\textbf{(5,6)}$
$(7,8)$

Następnie muszę zamienić parę (poprzednik) lub ( 7 , 8 ) (sukcesor) i powtarzać proces, aż wszystkie pary zostaną zamienione (jeśli to możliwe).$(3,4)$$(7,8)$

Ważne:
Nie możesz zamienić już zamienionej pary.
Jeśli istnieje sekwencja operacji „zamiany”, wówczas wszystkie pary należy zmienić na raz i tylko raz.

Przykład, w którym nie można zamienić wszystkich par

( 1 , 4 ) ( 3 , 2 ) ( 5 , 5 $(0, 0)$
$(1, 4)$
$(3, 2)$
$(5, 5)$

... Przeszukałem pewne wzorce, aby zbudować redukcję problemu NPC, ale nie znalazłem sposobu na przedstawienie „przepływu” za pomocą „rozwidlenia” ...

Tak więc (po pracy) jest to algorytm wielomianowy ...

ALGORYTM

$N*2$$(a_j,b_j)$$b_j$$a_j$$a_j$$b_j$$b_j$$a_j$$b_j$$b_k$$b_j$$b_j$$b_k$$N$

• $(a_j,b_j)$$b_j$$a_j$$start$

  • $(a_k,b_k), a_k \neq a_j$$a_k$$end$$a_k$$b_k$

    • $start$$end$

$b_j$$L$$R$$L$$R$$R$$L$

• $edgesLR$
• $edgesRL$
• $flow$$edgesLR - edgesRL$

Skrzynie:

$| flow | > 1$

$end > b_j$$end \in R$

$flow = 1$$L$$end$

$flow = -1$$end$

$flow = 0$$R$$end$

$end < b_j$$end \in L$

$end$$R$$end$$(start,end)$

Zastosuj ten sam rezonans przy każdym ruchu.

ZŁOŻONOŚĆ

Przepływy nad każdym otworem można wstępnie obliczyć w O (N) i użyć ponownie przy każdym skanie.

Pętle to:

for start = 1 to N
  for end = 1 to N
    for move = 1 to N
      make a move (fix a peg and update flows)
      check if another move can be done using flow     

$O(N^3)$

KOD

Oto działająca implementacja algorytmu Java:

public class StrangeSort {
    static int PEG = 0xffffff, HOLE = 0x0;
    static int M = 0, N = 0, choices = 0, aux = 0, end;
    static int problem[][], moves[], edgeflow[], field[];    
    boolean is_hole(int x) { return x == HOLE; }
    boolean is_peg(int x) { return x == PEG; }
    boolean is_ele(int x) { return ! is_peg(x) && ! is_hole(x); };
    int []cp(int src[]) { // copy an array
        int res[] = new int[src.length];
        System.arraycopy(src, 0, res, 0, res.length);
        return res;
    }    
    /* find the first element on the left (dir=-1) right (dir=1) */
    int find(int pos, int dir, int nm) {
        pos += dir;
        while (pos >= 1 && pos <= M ) {
            int x = field[pos];
            if ( is_peg(x) || (pos == end && nm < N-1) ) return 0;
            if ( is_ele(x) ) return pos;
            pos += dir;
        }
        return 0;
    }
    void build_edges() {
        edgeflow = new int[M+1];
        for (int i = 1; i<=M; i++) {
            int start = i;
            int b = field[start];
            if (! is_ele(b)) continue;
            if (i == end) continue;
            int dir = (b > start)? 1 : -1;
            start += dir;
            while (start != b) { edgeflow[start] += dir; start += dir; }
        }
    }
    boolean rec_solve(int start, int nm) {
        boolean f;
        int j;
        int b = field[start];
        moves[nm++] = b;
        if (nm == N) return true;
        //System.out.println("Processing: " + start + "->" + field[start]);        
        field[start] = HOLE;
        field[b] = PEG;
        int dir = (b > start)? 1 : -1;
        int i = start + dir;
        while (i != b) { edgeflow[i] -= dir; i += dir; } // clear edge                
        int flow = edgeflow[b];
        if (Math.abs(flow) > 2) return false;
        if (end > b) {
            switch (flow) {
            case 1 :                    
                j = find(b,-1,nm);
                if (j <= 0) return false;
                return rec_solve(j,nm);
            case -1 :
                return false;
            case 0 :          
                j = find(b,1,nm);
                if (j <= 0) return false;
                return rec_solve(j,nm);
            }        
        } else {
            switch (flow) {
            case -1 :                    
                j = find(b,1,nm);
                if (j <= 0) return false;
                return rec_solve(j,nm);
            case 1 :
                return false;
            case 0 :          
                j = find(b,-1,nm);
                if (j <= 0) return false;
                return rec_solve(j,nm);
            }            
        }
        return false;
    }
    boolean solve(int demo[][]) {
        N = demo.length;
        for (int i = 0; i < N; i++)
            M = Math.max(M, Math.max(demo[i][0], demo[i][1]));
        moves = new int[N];
        edgeflow = new int[M+1];
        field = new int[M+1];
        problem = demo;        
        for (int i = 0; i < problem.length; i++) {
            int a = problem[i][0];
            int b = problem[i][1];
            if ( a < 1 || b < 1 || a > M || b > M || ! is_hole(field[a]) || ! is_hole(field[b])) {
                System.out.println("Bad input pair (" + a + "," + b + ")");
                return false;
            }
            field[a] = b;
        }
        for (int i = 1; i <= M; i++) {
            end = i;
            build_edges();
            if (!is_ele(field[i])) continue;
            for (int j = 1; j <= M; j++) {
                if (!is_ele(field[j])) continue;
                if (i==j) continue;
                int tmp_edgeflow[] = cp(edgeflow);
                int tmp_field[] = cp(field);
                choices = 0;
                //System.out.println("START: " + j + " " + " END: " + i);
                if (rec_solve(j, 0)) {
                    return true;
                }
                edgeflow = tmp_edgeflow;
                field = tmp_field;
            }
        }
        return false;
    }
    void init(int demo[][]) {

    }
    public static void main(String args[]) {
        /**** THE INPUT ********/        

        int demo[][] =  {{4,2},{5,7},{6,3},{10,12},{11,1},{13,8},{14,9}};

        /***********************/        
        String r = "";
        StrangeSort sorter = new StrangeSort();       
        if (sorter.solve(demo)) {
            for (int i = 0; i < N; i++) { // print it in clear text
                int b =  moves[i];
                for (int j = 0; j < demo.length; j++)
                    if (demo[j][1] == b)
                        r += ((i>0)? " -> " : "") + "(" + demo[j][0] + "," + demo[j][1] + ")";
            }             
            r = "SOLUTION: "+r;
        }
        else
            r = "NO SOLUTIONS";
        System.out.println(r);
    }    
}

To nie jest rozwiązanie, ale przeformułowanie, które pozwala uniknąć wyraźnego wzmianki o operacjach wymiany i sortowania. Zacznij od posortowania całej połączonej listy nazw plików i ich zamienionych wersji, a następnie zidentyfikuj każdą nazwę pliku za pomocą indeksu na tej liście. Następnie dwa pliki są sąsiadami, jeśli wszystkie stare nazwy plików między nimi zostały już zniszczone i jeśli żadna z nowych nazw plików między nimi nie została jeszcze utworzona. Przeformułowany problem jest następujący:

$n$$(a, b)$$a, b \in \{1,2,…,2n\}$$(a_1, b_1), (a_2, b_2),...,(a_n, b_n)$

• $a_j$$b_i$$a_{i+1}$$j \le i$
• $b_j$$b_i$$a_{i+1}$$j \ge i+1$