Ogranicza przybliżone momenty częstotliwości

Niech 1 , 2 , ... , m jest ciągiem liczb całkowitych, gdzie każdy J ∈ { 1 , 2 , ... , N } . Dla i ∈ { 1 , 2 , … , n } , niech m i = | { j : a j = i } | . K th chwili częstotliwości określa się$a_1, a_2,\dotsc, a_m$$a_j \in \{1,2,\dotsc,n\}$$i \in \{1,2,\dotsc,n\}$$m_i = |\{j : a_j = i\}|$$k$

$\displaystyle F_k = \sum_{i=1}^n m_i^k.$

W dobrze znanym artykule pt. „Złożoność przestrzenna aproksymacji momentów częstotliwościowych” Alon i in. Daj strumieniowego algorytm, który jest w przybliżeniu przy użyciu mniej O ( N 1 - $F_k$space. Wykorzystują również techniki złożoności komunikacyjnej, aby uzyskać dolną granicęΩ(n1-$O(n^{1-\frac{1}{k}}(\log n + \log m))$dlak>5. Dlak=0,1,2zapewniają one mniej więcej pasujące górne i dolne granice.$\Omega(n^{1-\frac{5}{k}})$$k > 5$$k = 0,1,2$

Czy od tego czasu nastąpiły ulepszenia tych granic i czy nastąpił postęp dla ?$k = 3,4,5$

$F_k$$n^{1-2/k}$$k > 2$

Dla k <= 2

$O(1/\epsilon^2+log(n))$

$\tilde{O}(log(log(n))$

3) k = 2, myślę, że szkic AMS z ich papieru jest optymalny

Coś związanego

$F_\alpha$$\alpha$$\epsilon$$n$