Na winiecie wykładniczej vs. winiecie hiperbolicznej

Natknąłem się na tę małą przypowieść, która pokazuje, dlaczego dyskontowanie wykładnicze przewyższa dyskontowanie hiperboliczne ¹ :

Większe wygięcie [hiperbolicznej krzywej dyskontowej] oznacza, że ​​gdyby dyskont hiperboliczny prowadził handel z kimś, kto zastosował krzywą wykładniczą, wkrótce uwolniłaby się od swoich pieniędzy. Na przykład pani Exponential mogłaby tanio kupować płaszcz zimowy pani Hyperbolic każdej wiosny, ponieważ odległość do następnej zimy obniżyłaby jego ocenę bardziej niż pani E. Pani E mogłaby następnie sprzedawać płaszcz pani H każdej jesieni, gdy nadejście zimy spowodowało, że jej ocena H osiągnęła wysoki skok.

Liczba, do której odnosi się ten fragment, wygląda trochę jak ta pokazana poniżej, a najbardziej zauważalną różnicą jest to, że dodałem legendę, która wskazuje, która krzywa jest ² , wraz z formą analityczną zastosowanych funkcji rabatu ³ .

Wydaje mi się jednak, że przedstawiony powyżej argument jest fałszywy. Oczywiste jest, że czyja wycena byłaby bardziej obniżona, zależy od czasu. Dlatego dokładnie ten sam argument z odwróconą rolą Pani E i Pani H działałby dla dowolnego punktu czasowego między punktem, w którym krzywe przecinają się, a osią pionową.

W rzeczywistości, dla niektórych wyborów współczynników dla krzywych hiperbolicznych i wykładniczych, krzywa wykładnicza jest bardziej przygnębiona niż hiperboliczna dla wszystkich punktów czasowych . Na przykład:

Okazuje się, że zielona krzywa wykładnicza powyżej przecina krzywą hiperboliczną tylko przy jednej wartości , a mianowicie (tj. W czasie wskazanym przez oś pionową). Dla wszystkich zielona krzywa wykładnicza znajduje się dokładnie poniżej krzywej hiperbolicznej.$t$$t = 0$$t < 0$

Oznacza to, że jeśli krzywa dyskonta wykładniczego pani E byłaby zielona, ​​to pani H byłaby w stanie szybko ją zanurzyć, stosując strategię opisaną we fragmencie, i byłoby to prawdą niezależnie od długości przedziału czasowego między kupno i odsprzedaż zimowego płaszcza .

Podsumowując, argument tego fragmentu o wyższości dyskontowania wykładniczego nad dyskontowaniem hiperbolicznym nie ma, moim zdaniem, znaczenia.

Teraz zdaję sobie sprawę, że fragment ten nie jest szczególnie rygorystyczny i że może istnieć bardziej przekonujący sposób wykazania wyższości dyskontowania wykładniczego nad dyskontowaniem hiperbolicznym. Jeśli tak, co to jest? W szczególności chcę wiedzieć, co następuje:

Jak ktoś, kto stosuje dyskontowanie wykładnicze, może jednostronnie skorzystać z korzyści finansowych osoby, która korzysta z dyskontowania hiperbolicznego?

(Przez jednostronnie rozumiem, że strategia jest dostępna tylko dla osób, które stosują dyskontowanie wykładnicze w stosunku do osób korzystających z dyskontowania hiperbolicznego, a nie odwrotnie).

^{1 Mam odniesienie do tego fragmentu do Podziału woli (2001) George'a Ainsliego (s. 30–31). Ale nie mam tej książki.}

^{2 Dodałem etykiety „hiperboliczny” i „wykładniczy”, zgodnie z moją interpretacją tego, co autor rozumie przez „większe ukłon”. Nie jestem ojczystym językiem angielskim, więc popraw mnie, jeśli ta interpretacja jest wsteczna.}

^{3 Zauważ, że wszystkie te funkcje mają jako swoje domeny. Ten wybór był wymagany, aby dopasować wygląd oryginalnych krzywych. Powinienem również podkreślić, że formy funkcjonalne, których użyłem dla wszystkich tych krzywych, są moje własne, dobrane tak, aby przybliżyć wygląd oryginalnych krzywych. Tekst fragmentu nie podaje funkcjonalnej formy przedstawionych krzywych.$(-\infty, 0]$}

Uważam, że pompa pieniędzy działa w następujący sposób:

Przy pożycz sto dolarów od Henry'ego dyskonta hiperbolicznego na cały okres . Stopa procentowa powinna wynosić zero, ponieważ ich stopa dyskontowa w stosunku do pożyczek w tym okresie wynosi . Dla uproszczenia, uczyń to pożyczką z kuponem zerowym, z zapłatą wymagalną w terminie zapadalności i zakładając, że oboje zgadzacie się, że nie ma ryzyka kredytowego. Teraz przejdź o jedną kropkę do . Oferta odsprzedaży pożyczki Henrykowi. Jego stopa dyskontowa wynosi teraz więc stopa procentowa jest niższa niż kwota, którą naliczy za nową pożyczkę, więc cena musi być wyższa od wartości nominalnej. Zadzwoń do ceny . sprzedaży, pożyczkę i kieszeń$T=0$$t$$1$$T=\epsilon$$\frac{1}{1-\epsilon} < 1$$100 + \psi_1$$\psi_1$. Poproś o nową pożyczkę w wysokości stu dolarów, ponownie przy zerowym kuponie, teraz według stopy procentowej na okres. Przejdź o kolejny okres do . Ponownie, , abyś mógł sprzedać ten obowiązek również za więcej niż par ( ). sprzedaży, pożyczkę i . Opłucz, spień i powtórz, dopóki nie będą mieli stu dolarów na pożyczenie.$\frac{1}{1-\epsilon}$$T = 2 \epsilon$$\frac{1}{1-2\epsilon} < \frac{1}{1-\epsilon}$$1 + \psi_2$$\psi_2$

Aktualizacja: Mam nadzieję, że jest to prostszy przykład. W każdym okresie kupuj okres T (T 2) obligacji od dyskonta Henry'ego Hiperbolicznego. Odsprzedajesz także Henrykowi obligację zakupioną w poprzednim okresie. Będziesz skłonny to zrobić, dopóki okres będzie wystarczająco krótki, aby zysk z transakcji był wystarczająco wysoki, aby zrekompensować własną stopę dyskontową.$\geq$

Rozważ 2-letnią obligację z powyższymi preferencjami. Dwuletnia stopa dyskontowa wynosi czyli mniej niż roczna stopa dyskontowa . Eddy dyskontowiec wykładniczy jest skłonny pożyczyć pieniądze Henrykowi, ponieważ zyski z tej pożyczki są wystarczająco wysokie, aby go zrekompensować, nawet jeśli jego preferencja czasowa dla pożyczek na 1 i 2 lata jest wyższa niż Henry'ego.$\frac{1}{3}$$\frac{1}{2}$