Przewidywanie

Mój szacowany model to

Poproszono mnie o znalezienie predykcyjnego CI z 95% pewnością dla średniej $y_0$, kiedy $x_{02}=250$, i $x_{03}=8$. Mamy to założyć$s^2 x_0(X^TX)^{-1}x_0^T=0.000243952$, gdzie $x_0=(250,8)$.

Mam rozwiązanie z poprzedniego roku, które wygląda tak:

Znajduję CI formularza $\text{CI}(E[ln(y_0)|x_0])=\left[\hat\ln(y_t)-t_{\alpha/2}s_E,\hat \ln(y_t)+t_{\alpha/2}s_E\right]$, gdzie $t$ jest $\alpha/2$ górny kwantyl rozkładu $t(n-k)$ i $s_E=\sqrt{0.000243952}$. To mi daje$[7.1563,7.2175]$.

Następnie autor to robi $\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{7.1563},e^{7.2175}]=[1282.158,1363.077]$.

Nie zgadzam się z tym ostatnim krokiem (z powodu nierówności Jensena nie docenimy). W Wooldridge's Intro to Econometrics, na stronie 212, stwierdza, że ​​jeśli jesteśmy pewni, że warunki błędu są normalne, to spójny estymator to:

Tak więc myślałem o zrobieniu

Czy to jest poprawne?

Również rozwiązanie tego ćwiczenia stwierdza, że $\text{CI}(E[y_0|x_0])=[624.020,663.519]$, co jest dalekie od żadnego z moich rozwiązań.

Każda pomoc będzie mile widziana.

PS: Przeczytałem również, że korekcji nie należy stosować do CI, a jedynie do oszacowania punktowego $\hat E[y_0|x_0]$

Nie znajdziesz tej samej odpowiedzi z powodu tego, co podejrzewam o błąd typograficzny, który byłby zatem główną przyczyną twojego problemu: $x_{03}$ byłoby ustawione na $80$, nie $8$. Inna możliwość, jeśli zatrzymasz$x_{03}=8$, jest błędem w drugim szacowanym współczynniku, powiedzmy, $\hat{\beta}_2 = -0.1$ zamiast $-0.01$.

W każdym razie jedna z tych modyfikacji rozwiązuje wszystko i daje taki sam wynik jak rozwiązanie tego ćwiczenia.

Biorąc pod uwagę tę zmianę, z $t_{\alpha/2}=1.96476138969835$, dostaje się

Metoda 1

$\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{6.43618291164626},e^{6.49755798189177}]=[624.020307335178,663.519326788772]$ (podane rozwiązanie tego ćwiczenia)

lub

Metoda 2

jednak

metoda 2 jest bardzo mało prawdopodobne, aby być poprawne, ponieważ, jak wspomina w swoim pytaniu [...] The (niedoszacowanie) korekta nie powinna być stosowana do PW, ale tylko dla estymacji punktowej.

Dlaczego ? Powiedziałbym, że z powodu zależności między tymi dwoma terminami, znając oczekiwania$e^{s^2/2}$ z jednej strony i $\hat{y_0}$ z drugiej strony nie oznacza, że ​​jeden z nich zna $e^{\frac{s^2}{2} + \hat{\ln(y_0)}}$.

Prognozy punktowe i CI są różne.

Jeśli chodzi o przewidywanie punktów, lepiej jest, jeśli to możliwe, korygując odchylenie w jak największym stopniu. W przypadku CI od samego początku wymagane jest, aby prawdopodobieństwo było równe$100(1-\alpha)\%$. Kiedy$[a,b]$ to 95% CI dla $\ln(y_0)$ na przykład, $[e^a,e^b]$ jest z pewnością 95% CI dla $y_0$ ponieważ $P(a\le \ln X\le b) = P(e^a \le X \le e^b)$. Więc twój$[e^{7.1563}, e^{7.2175}]$ jest z pewnością prawidłowym CI.

Ale centrum tego CI nie jest ani naiwnym predyktorem (exp [predyktor z $\ln y_0$]) ani skorygowanego predyktora $y_0$(współczynnik korygujący pomnożony przez naiwny predyktor) z powodu nierówności Jensena, ale tak naprawdę nie ma to znaczenia. W niektórych przypadkach (nie zawsze) zmiana CI może być możliwa$[e^{a-p}, e^{b-q}]$ dla niektórych $p$ i $q$ więc prawdopodobieństwo wynosi nadal 95%, a jego centrum jest predyktorem skorygowanym o błąd systematyczny, ale nie widzę w tym sensu.

Co zasugerowałeś, tj. $[e^{s^2/2}e^a,e^{s^2/2}e^b]$nie jest 95% CI. Aby zobaczyć dlaczego, niech będzie współczynnik korygujący$h$ (nielosowe i doskonale znane, dla uproszczenia), więc predyktorem skorygowanym o błąd systematyczny jest $he^{\theta}$, gdzie $\theta$ jest bezstronnym predyktorem $\ln y_0$ ($\hat\beta_0 + \hat\beta_2 \ln x_2 + \hat\beta_3 x_3$w twoim przykładzie). To „$h$”można oszacować według $e^{s^2/2}$ na przykład, ale chociaż ta ostatnia jest losowa, $h$zakłada się, że to nielosowe, aby uprościć. Pozwolić$[a,b]$ być 95% CI dla $\ln y_0$tzn. $P(a\le \ln y_0\le b)=0.95$. Następnie,

EDYTOWAĆ

Powyższe dotyczy CI $y_0$, nie z $E(y|X=x_0)$. Pierwotne pytanie dotyczy CI dla$E(y|X=x_0)$. Pozwolić$E(y|X=x_0) = h\exp(x_0\beta)$, który jest szacowany przez $\hat{h} \exp(x_0 \hat{\beta})$. W takim przypadku myślę, że metoda Delta jest przydatną opcją (patrz odpowiedź Luchonacho).

Aby być rygorystycznym, potrzebujemy wspólnego podziału $\hat{h}$ i $\hat\beta$, a ściślej asymptotyczny rozkład wektora $\sqrt{n}[(\hat\beta-\beta)', \hat{h}-h]'$. Następnie rozkład limitów$\sqrt{n}[\hat{h} \exp(x_0\hat{\beta}) - h\exp(x_0\beta)]$ jest obliczany przy użyciu metody Delta, a następnie CI dla $h\exp(x_0\beta)$ można zbudować.

Użyj metody delta . Powiedz asymptotyczny rozkład dużych próbek dla jednego parametru$\beta$ jest:

(zakładając, że oszacowanie jest spójne)

Ponadto jesteś zainteresowany funkcją $\hat{\beta}$, mówić, $F(\hat{\beta})$. Następnie aproksymacja Taylora pierwszego rzędu powyższego prowadzi do następującego asymptotycznego rozkładu:

W Twoim przypadku, $F(\hat{\beta})$ jest $e^\hat{\beta}$. Stąd możesz zbudować CI w normalny sposób.

Źródło i więcej szczegółów w połączonym dokumencie.