PBE typu „weź lub zostaw”

Znalazłem interesujące pytanie dotyczące idealnej równowagi bayesowskiej. Nie widziałem pytania, w którym przekonania nie są dyskretne.

Istnieje jeden potencjalny nabywca przedmiotu, który ma zerową wartość dla sprzedającego. Wycena v tego nabywcy jest równomiernie rozłożona na [0, 1] i jest informacją prywatną. Sprzedawca podaje cenę$p_1$ które kupujący akceptuje lub odrzuca.

Jeśli zaakceptuje, przedmiot jest sprzedawany po ustalonej cenie, a wypłata kupującego wynosi $v − p_1$ a sprzedawca jest $p_1$.

Jeśli odrzuci, sprzedawca składa kolejną ofertę cenową, p2. Jeśli kupujący to zaakceptuje, jego wypłata wynosi$\delta_(v − p_2)$ a sprzedawca jest $\delta p_2$, gdzie $\delta = 0.5$.

Jeśli odrzuci, obaj gracze otrzymają zero (nie ma żadnych dalszych ofert).

Znajdź idealną równowagę bayesowską.

Moje zwykłe podejście polega na utrwalaniu przekonań, ale nie do końca wiem, jak to robić z ciągłymi przekonaniami. Jakakolwiek rada?

Po opublikowaniu wczoraj złego rozwiązania, wydaje mi się, że mam lepsze:

Strategia kupującego składa się z dwóch funkcji, $(f_1(v,p_1),f_2(v,p_1,p_2))$ gdzie obie funkcje odwzorowują $\left\{A,R\right\}$ (gdzie $A$ oznacza Akceptuj, $R$do odrzucenia). Strategia sprzedawcy to$(p_1,p_2(f_1(v,p_1)))$. Otrzymujesz rozwiązanie poprzez indukcję wsteczną. W PBE$f_2(v,p_1,p_2)$ mapy do $A$ wtedy i tylko wtedy gdy $v \geq p_2$. (Równość jest nieistotna.) W PBE sprzedawca uważa, że ​​istnieje zbiór$H$ rodzajów, dla których kupujący odrzucił jej ofertę $p_1$. Następnie

$$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(f_2(v,p_1,p_2) = A | f_1(v,p_1) = R).$$ Kupujący zaakceptuje ofertę wtedy i tylko wtedy, gdy Otrzymasz z tego Lewa strona tego równania rośnie w , więc typy o wysokiej wycenie zaakceptują. Oznacza to, że w PBE zestaw jest taki, że Z tego otrzymujemy optymalne podane : W PBE jest funkcją : $p_1$ $$v - p_1 \geq \delta \cdot (v - p_2).$$ $$v \cdot (1 - \delta) \geq p_1 - \delta \cdot p_2.$$ $v$$H$ $$H = [0, \bar{v}).$$ $p_2$$\bar{v}$ $$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(v \geq p_2 | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2}.$$ $\bar{v}$$p_1$ $$\bar{v} \cdot (1 - \delta) = p_1 - \delta \cdot \frac{\bar{v}}{2},$$ więc Ustaliliśmy wszystkie strategie PBE, ale . Oczekiwana wypłata sprzedawcy to gdzie Zastępujemy to $$\bar{v} = \frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}.$$ $p_1$ $$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot p_2(\bar{v}(p_1)) \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} - p_2(\bar{v}(p_1)) \right),$$ $$p_2(\bar{v}(p_1)) = \frac{\bar{v}(p_1)}{2} = \frac{\frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}}{2} = \frac{p_1}{2 - \delta}.$$ $$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1}{2 - \delta} \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} - \frac{p_1}{2 - \delta} \right),$$

Musisz zmaksymalizować to wrt . Przy dostałem $p_1$$\delta = 0.5$

$$p_1^* = \frac{9}{20}, \hskip 20pt \bar{v} = \frac{3}{5}, \hskip 20pt p_2^* = \frac{3}{10}.$$