Dlaczego obwód RC nie zmienia kształtu sinusoidy wejściowej?

Na powyższym zdjęciu czerwona fala prostokątna jest wejściem, a fala niebieska jest wyjściem obwodu RC. Nie jestem w stanie zrozumieć, dlaczego otrzymuję idealną falę sinusoidalną, kiedy zasilam ją jako sygnał wejściowy. Kondensator musi zająć trochę czasu na naładowanie i rozładowanie. Tak więc moja intuicja krzyczy, że wyjście to fala okresowa, której okres stanowi połowę sygnału wejściowego. Czy ktoś może mi to wyjaśnić? Dzięki!

Czy w dziedzinie czasu nie powinno to zrobić czegoś takiego?
Przy t = 0 kondensator ma napięcie 0. Ponieważ napięcie wejściowe jest duże, kondensator ładuje się i napotyka falę sinusoidalną na wejściu, gdy spada.

Następnie napięcie wejściowe spada poniżej napięcia kondensatora, więc kondensator zaczyna się rozładowywać i ponownie napotyka falę sinusoidalną, gdy rośnie.

Naucz się myśleć w przestrzeni częstotliwości. Jest to jedna z tych rzeczy, które trudno zobaczyć w dziedzinie czasu, ale ładnie wypadają w dziedzinie częstotliwości.

Fala sinusoidalna to pojedyncza „czysta” częstotliwość. Filtr RC to układ liniowy, który nie może zniekształcać, co oznacza, że ​​nie może tworzyć częstotliwości na wyjściu, których nie ma na wejściu. Gdy wprowadzisz tylko jedną częstotliwość, wyjście może zawierać tylko tę jedną częstotliwość. Jedyne pytania dotyczą tego, jaka będzie względna amplituda i przesunięcie fazowe od wejścia do wyjścia.

Powodem, dla którego fala prostokątna nie powoduje fali kwadratowej, jest to, że fala kwadratowa zawiera wiele częstotliwości. Każdy z nich można tłumić i przesuwać fazę niezależnie. Kiedy zmieniasz względną siłę i fazy harmonicznych, dostajesz inny wyglądający sygnał w dziedzinie czasu.

Fala kwadratowa może być uważana za superpozycję nieskończonej serii sinusów. Są to w ogóle nieparzyste harmoniczne (nieparzyste liczby całkowite częstotliwości podstawowej). Amplituda tych harmonicznych spada przy wyższych częstotliwościach.

Możesz przepuścić falę kwadratową przez kilka kolejnych filtrów dolnoprzepustowych RC, każdy o częstotliwości wycofywania znacznie poniżej częstotliwości fali prostokątnej. Po każdym filtrze wynik wygląda coraz bardziej jak sinus. Jest tak, ponieważ takie filtry tłumią wysokie częstotliwości bardziej niż niskie. Oznacza to, że harmoniczne fali prostokątnej są tłumione bardziej niż podstawowe. Jeśli zrobisz to wystarczająco dużo, harmoniczne mają tak małą amplitudę w stosunku do podstawy, że wszystko, co widzisz, jest podstawą. To pojedyncza częstotliwość, więc sinus.

Dodany

Nie tak zareagowałby jakikolwiek filtr RC:

W przypadku filtra dolnoprzepustowego RC, gdy częstotliwość wejściowa jest znacznie poniżej progu wyjściowego, sygnał wyjściowy przeważnie podąża za sygnałem wejściowym. Na poziomie znacznie powyżej częstotliwości wycofywania wyjście stanowi całkę wejścia.

Tak czy inaczej, nie będzie nagłych zmian nachylenia wyjściowego, jak pokazano. Nie ma nic specjalnego w przecinaniu wejścia powyżej lub poniżej wyjścia, ponieważ dzieje się to płynnie. Otrzymujesz punkt przegięcia na wyjściu, ale jest to gładki garb, ponieważ wejście zbliża się gładko przed i opuszcza płynnie po.

Napisanie pętli, aby ją zasymulować, może być pouczające. Jedyne, co musisz zrobić na każdym kroku, to zmienić dane wyjściowe o niewielki ułamek chwilowej różnicy danych wejściowych minus wynik. Otóż ​​to. Następnie rzuć na nią falę sinusoidalną i zobacz, jak płynnie podąża moc wyjściowa, aby uzyskać kolejny sinusoidę, chociaż opóźnia się w fazie i ma mniejszą amplitudę.

Pamiętaj, że szybkość zmiany napięcia kondensatora zależy od różnicy napięcia między napięciem wejściowym a napięciem kondensatora. Twój wykres tego nie reprezentuje.

Kiedy napięcie wejściowe i kondensator wynoszą 0 V, a napięcie wejściowe zaczyna rosnąć, napięcie kondensatora powinno zacząć powoli rosnąć, ponieważ napięcie wejściowe (a zatem różnica napięć) jest również niewielkie.

Kiedy szczyt wejściowy osiąga wartość szczytową, różnica napięcia jest maksymalna, a tutaj napięcie kondensatora rośnie najszybciej. Kiedy napięcie wejściowe zaczyna spadać, spada również szybkość ładowania kondensatora. Po osiągnięciu tych dwóch napięć różnica jest znowu na początku mała, więc szybkość rozładowania jest również niewielka. Jak się okazuje, powoduje to kolejną falę sinusoidalną.

Poniższy wykres został zasymulowany (za pomocą arkusza kalkulacyjnego) z wyżej wymienioną regułą. Różnica napięcia między napięciem wejściowym a napięciem kondensatora jest największa nieco przed szczytem napięcia wejściowego.

$2\pi$

Na twoim wykresie kondensator rozładowuje się najszybciej po tym, jak dwa napięcia się spotkają, ale nie w tym miejscu różnica napięć jest największa. Byłoby to z wejściem fali prostokątnej, ponieważ napięcie wejściowe nie zmieniłoby się ponownie, dopóki nie nastąpi kolejny „krok” fali prostokątnej. Sygnał sinusoidalny zmienia się jednak stale.

Otrzymasz falę sinusoidalną z fali sinusoidalnej, jeśli twoja stała czasowa RC pozwala kondensatorowi ładować / rozładowywać z tą samą prędkością lub szybciej, gdy zmienia się kształt fali wejściowej.

Twój przebieg wyjściowy będzie opóźniony przez ładowanie i rozładowywanie kondensatora nieco za zmianami kształtu fali wejściowej, zwanymi opóźnieniem fazowym.

W Internecie znajdziesz wiele teorii i matematyki, jeśli jeszcze ich nie masz.

Dla mnie domena czasu jest tutaj bardziej objaśniająca. Jeśli spojrzysz na swój pierwszy wykres, zobaczysz, co pojawia się jako funkcja kroku (dla pierwszego półokresu). Oznacza to, że nagle przykładasz napięcie, a następnie utrzymujesz je na stałym poziomie. Oznacza to, że kondensator będzie próbował osiągnąć przyłożone napięcie zgodnie z własnymi prawami, tutaj w formie 1-exp(-x).

Jeśli natomiast zastosujesz falę sinusoidalną, w tym samym półokresie nie będziesz już mieć gwałtownego wzrostu napięcia i nie będzie ona stała: będzie rosła coraz wolniej, dopóki nie zostanie osiągnięty szczyt, następnie będzie się zmniejszał coraz szybciej, w przybliżeniu wokół swojego szczytu. Oznacza to, że kondensator najpierw ładuje się wolniej i wolniej, a następnie rozładowuje się coraz szybciej. To, co narysowałeś, jest wynikiem (przynajmniej) ciągłego ładowania; sinus również się rozładuje.

RC$\sin(x)=i\frac{exp(-ix)-exp(ix)}{2}$