Warunkowa stabilność

Uczę się o wzmacniaczach operacyjnych i sprzężeniu zwrotnym oraz o tym, jak sprzężenie zwrotne wpływa na ich stabilność. Czytałem o zysku i marży fazy i ich zastosowań, gdy natknąłem się na to :

Nie do końca rozumiem, jak pokazany na zdjęciu system będzie stabilny, biorąc pod uwagę, że przy około 2 kHz sprzężenie zwrotne będzie pozytywne; Myślałem, że spowoduje to, że częstotliwość 2 kHz stanie się coraz większa i nie będzie zbieżna.

Dlaczego ten system będzie stabilny?

Właśnie dlatego uważam, że ludzie powinni najpierw zbadać stabilność za pomocą wykresów Nyquista, a następnie za pomocą wykresów Bode i powiązanych diagramów wzmocnienia i marginesu fazowego.

Marginesy wzmocnienia / fazy są po prostu wygodnym sposobem określania, jak blisko systemu dochodzi do posiadania biegunów po prawej stronie płaszczyzny złożonej, pod względem tego, jak blisko wykresu nyquista zbliża się do -1, ponieważ po częściowym rozszerzeniu ułamka te warunki z bieguny dodatnie kończą się wykładniczym wykładnikiem czasu o dodatnim współczynniku, co oznacza, że ​​dochodzi do nieskończoności, co oznacza, że ​​jest niestabilny.

Działają jednak tylko wtedy, gdy fabuła nyquista jest „normalnie wyglądająca”. Bardzo dobrze, że robi coś takiego:

Zatem narusza to zasadę marginesu fazowego, ale funkcja przenoszenia w otwartej pętli G (s) H (s) nie otacza -1, więc 1 + G (s) H (s) nie ma zer po prawej stronie, co oznacza, że ​​zamknięta pętla nie ma biegunów po prawej stronie, więc jest stabilna.

Słowo warunkowe pochodzi z faktu, że wzmocnienie ma górne / dolne granice, aby utrzymać go w ten sposób, a przekroczenie ich sprawia, że ​​system jest niestabilny (ponieważ przesuwa krzywą na tyle, aby zmienić liczbę razy, gdy -1 jest otoczone).

Warunkowa stabilność w reakcji w otwartej pętli.

Po pierwsze, ponieważ pochodzi on od Ridleya, można się założyć, że jest to odpowiedź przetwornicy mocy w otwartej pętli. Ta odpowiedź będzie stabilna dla pokazanego wzmocnienia dla małych zaburzeń pętli liniowej. Jeśli zakłócenia w pętli staną się wystarczająco duże, aby doprowadzić wzmacniacze do pracy nieliniowej, wówczas pętla prawdopodobnie stanie się oscylacyjna, ponieważ praca w obszarze nieliniowym będzie miała mniejsze wzmocnienie wzmacniacza.

Problem z takimi pętlami polega na tym, że chociaż są one stabilne, często systemy mają zysk, który różni się znacznie w zależności od napięcia wejściowego, obciążenia lub temperatury lub kombinacji wszystkich tych elementów. Jeśli używasz pętli warunkowo stabilnej, musisz sprawdzić, czy żadna z tych zależności nie będzie miała wpływu na żaden tryb pracy (w tym na warunki uruchamiania). Gdy tego rodzaju pętle zaczną oscylować, mają tendencję do przywierania (oscylacja zmniejszy wzmocnienie, aby tak się stało).

Zauważ, że pokazana pętla jest poprawnie skompensowana 2 zerami, aby pokryć 2 bieguny. Problem polega na tym, że bieguny są prawdopodobnie z filtra LC (bieguny złożone) w pętli. Pojawi się nisko stratny induktor i nisko stratny zespół kondensatorów, które połączą się, aby uzyskać wysoką odpowiedź Q. Ponieważ to Q jest wysokie, cały udział fazowy z LC nastąpi w bardzo małym zakresie częstotliwości; z wykresu wygląda to jak oktawa dla utraty stopni o 180 stopni. Zera kompensacyjne Opampa będą proste, a więc wzmocnienie fazy nastąpi w ciągu 2 dekad częstotliwości (co najmniej). Tak więc, pomimo wystarczającego wzmocnienia fazy, aby pokryć utratę fazy LC, nastąpi zanik fazy i brak lub ujemny margines fazy na środku w pobliżu biegunów.

Możliwe rozwiązania tego typu reakcji pętli:

• Zera kompensacyjne mogą być podzielone, dzięki czemu jeden pojawi się przed biegunami (obejmie bieguny), dodając wcześniej trochę fazy. Może to skutkować większym marginesem fazowym przy zaniku fazy, ale może nie być wystarczające.

• Najlepszym rozwiązaniem jest zwykle zmniejszenie Q filtra LC.

Dekonstrukcja pętli:

Aby pokazać, jak może dojść do tego typu reakcji w otwartej pętli, można ją zdekonstruować za pomocą prostego modelu.

Tak naprawdę nie znam obwodu, który wywołał odpowiedź opublikowaną przez OP, ale podejrzewam, że na podstawie tego, jak wygląda odpowiedź, pochodzi z regulatora doładowania w trybie ciągłego przewodzenia. Podstawowy model obejmowałby filtr LC, PowerModulator i wzmacniacz błędu. Pół-schemat wersji otwartej pętli AC to:

Obwód ogólnie będzie odzwierciedlał zachowanie pętli doładowania CCM, chociaż dane tutaj wybrane są rozsądne i najlepiej pasują do wysłanej pętli ... przy minimalnym nakładzie pracy. Jest to tylko narzędzie, które pomaga oddzielić wszystkie części pętli i pokazać, jak poszłyby razem, tworząc pętlę całkowitą.

Zacznijmy od wyniku tego modelu, pełnej pętli:

Nieźle ... wygląda dość blisko oryginału. Widać, że podstawowym charakterem pętli jest integrator z zaburzeniem rezonansowym LC przy 1000 Hz. Przy częstotliwościach poniżej biegunów LC wzmocnienie pętli zaczyna się przy -20dB na dekadę, a przy częstotliwościach powyżej biegunów LC wzrost wznawia się o -20dB na dekadę. Tak więc, ponieważ ogólnie występuje 1 biegun (-20dB /), coś poradziło sobie z tymi 2 biegunami LC, pokrywając je zerami. Istnieją dodatkowe artefakty, które pojawiają się powyżej ~ 20 kHz; ESR zero w filtrze LC, zero prawej połowy płaszczyzny (rhpz) i częstotliwość Nyquista; o czym krótko wspomnimy.

Odpowiedź filtra LC:

$C_o$

Modulator mocy z filtrem LC:

Do filtra LC dodano tutaj modulator mocy. Modulator mocy ma wzmocnienie 30 dB, prawą zerową płaszczyznę zerową przy 70 kHz i biegun dla częstotliwości Nyquista przy 100 kHz (tak, wiem, że dodanie bieguna nie jest właściwym sposobem na obsługę Nyquista, ale trzeba to zrobić ). Z wyjątkiem posiadania 30 dB wzmocnienia wykres wzmocnienia wygląda tak samo jak tylko LC. Ale co z tą fazą? To rhpz, który wykazuje fazę jak biegun lhp, ale zyskuje jak zero lhp. To głównie dlatego faza otwartej pętli nigdy nie odzyskuje tyle, ile można by sądzić po rezonansie LC.

Wzmacniacz błędu:

Tutaj możesz zobaczyć odpowiedź wzmacniacza z jego biegunem integratora niskiej częstotliwości, a następnie 2 zerami przy około 1kHz i 7kHz, biegunem przy 42kHz, aby spłaszczyć ostatnie zero przed wpadnięciem do limitu wzmocnienia wzmacniacza.

Opamp miał szerokość pasma 20 MHz ze wzmocnieniem 140dB i biegun niskiej częstotliwości 2 Hz. Wzmocnienie integratora jest ustawiane przez R1 i C1. Pierwsze zero jest ustawiane przez C1 i R3. Drugie zero jest ustawiane przez C2 i R1. Słup wyrównujący jest ustawiany przez C2 i R2.

Najpierw trochę wyjaśnienia. To, co kreślisz, to zysk w pętli L (s), który odpowiadałby G (s) H (s) na poniższym schemacie:

Pełna funkcja transferu (zwana również wzmocnieniem w pętli zamkniętej ) w tym przypadku to:

Odwrotna transformacja będzie miała rosnące wykładnicze wartości (co oznacza, że ​​jest to układ niestabilny), ilekroć funkcja ta ma bieguny po prawej stronie (RHS) płaszczyzny s. To jest to samo, co ustalenie, czy na RHS płaszczyzny s są jakieś zera 1 + L (s). Zasadniczo więc niestabilność jest określana przez wzmocnienie pętli, nie ma potrzeby obliczania bardziej złożonego wzmocnienia w pętli zamkniętej. Mówiąc o stabilności, wykresy prawie zawsze mają wzmocnienie L (s) pętli.

Powrót do pytania:

Jeśli chodzi o twierdzenie, że system jest niestabilny, gdy wzmocnienie jest większe niż 0dB z fazą odwróconą (-180), pozwól mi odpowiedzieć z łatwym do zobaczenia kontrprzykładem. Rozważ bardzo proste:

^{symulacja tego obwodu - Schemat utworzony przy użyciu CircuitLab}

Zgodnie z nadmiernie zakładającym kryterium, które mówi:

jeśli wzmocnienie pętli jest dodatnie przy -180 °, system będzie niestabilny.

Więc jeśli | K | > 1, to musi być niestabilny.

Ale tak nie jest. Dane wyjściowe to:

Stabilny.

Z drugiej strony, jeśli K = -1, to mamy problem (staje się niestabilny).

Powyższe było przykładem tylko stałej, ale ogólnie wiedza, że ​​wzmocnienie wynosi> 0dB przy -180, nie oznacza, że ​​system jest niestabilny . Jeśli twoja książka tak mówi, jest źle (ale wydaje się, że jest odpowiednia w wielu typowych przypadkach).

Jeśli zaczniesz wyobrażać sobie, że powyższy system ma niewielkie opóźnienie i że sygnał E nie miał czasu na odpowiedź i ma niewłaściwą wartość, a następnie zobaczysz, jak propaguje się iteracyjnie przez pętlę, dojdziesz do wniosku, że sygnał wzrośnie bez uwiązany. Dzięki temu wpadniesz w pułapkę psychiczną, z której trudno się wydostać, co jest moim zdaniem błędnym przekonaniem, które nie pozwala koncepcyjnie zaakceptować, że system w twoim pytaniu może być stabilny.

Wykres Bodego jest tylko fragmentem Nyquista, a kryterium stabilności węża ma zastosowanie tylko wtedy, gdy wykres Nyquista jest typowy, ale Bode jest jedynie wygodą (łatwiej jest wydrukować niż Nyquista).

Wykresy Nyquista i jego uproszczona wersja wykresów Bode są tylko graficznymi metodami do:

1. Dowiedz się, czy system ma bieguny RHS, które stają się coraz bardziej wykładnicze.
2. Uzyskaj wgląd w to, jak daleko system jest stabilny / niestabilny i co można z tym zrobić.

Również dla wyjaśnienia, nie ma bagna, która zminimalizuje niestabilne częstotliwości. Jednym prostym wyjaśnieniem jest wzięcie pod uwagę, że całkowita odpowiedź jest superpozycją odpowiedzi wszystkich częstotliwości, więc po prostu nie ma sposobu na jej ustalenie, w taki sam sposób, że nie można anulować sinusoidy o określonej częstotliwości przy dowolnej liczbie sinusoidalne o różnych częstotliwościach.

Ale znowu myślenie w kategoriach częstotliwości, które powodują niestabilność systemu, jest również błędne. Ta niestabilność nie jest tym samym, co posiadanie nieskończenie rezonansowej częstotliwości, jak w nie tłumionym systemie drugiego rzędu. Jest to układ oscylacyjny, ale niestabilność, o której mówimy, rośnie bez żadnych ograniczeń (z wyjątkiem zera).

Prostym sposobem na udowodnienie, że zdaje sobie sprawę, że niestabilny system będzie miał bieguny na RHS płaszczyzny s, i że:

Nie ma więc sposobu, aby anulować biegun w funkcji przenoszenia, która go zwielokrotnia. Wynik nadal będzie rosnąć bez ograniczeń.

Odpowiedź oscylacyjna wchodzi w grę tylko wtedy, gdy faza jest zła przy przejściu przez zero wzmocnienia. Ta pętla jest warunkowo stabilna, ponieważ jeśli jakiś czynnik zmniejszy wzmocnienie (powodując, że wcześniej się przełączy), może przejść przez ten obszar 2 kHz, w którym faza jest niebezpieczna, i wytworzyć odpowiedź oscylacyjną.

Aby ta pętla była bezwarunkowo stabilna, musiałoby być jakieś wzmocnienie fazowe, aby przenieść tę sekcję 2 kHz ze strefy niebezpiecznej, lub wzmocnienie musiałoby przekraczać na znacznie niższej częstotliwości (w obszarze przed awarią fazy).