Różnica między reakcją naturalną a reakcją wymuszoną?

Odniesienie

Drugi post na EdaBoard.com

Odpowiedź czasowa systemu jest ewolucją zmiennych w czasie. W obwodach byłyby to przebiegi napięcia i prądu w funkcji czasu.

Naturalna reakcja to reakcja systemu na warunki początkowe przy wszystkich siłach zewnętrznych ustawionych na zero. W obwodach byłaby to odpowiedź obwodu na warunki początkowe (na przykład prądy początkowe na cewkach i napięcie początkowe na kondensatorach) przy wszystkich niezależnych napięciach ustawionych na zero woltów (zwarcie) i źródłach prądu ustawionych na zero amperów (obwód otwarty) ). Naturalna reakcja obwodu będzie podyktowana stałymi czasowymi obwodu i ogólnie pierwiastkami równania charakterystyk (biegunów).

Wymuszona odpowiedź to odpowiedź systemu na bodziec zewnętrzny przy zerowych warunkach początkowych. W obwodach byłaby to tylko reakcja obwodu na funkcję wymuszania zewnętrznego źródła napięcia i prądu ... kontynuuj odczyt

pytania

1. Jak może być naturalna reakcja? Coś trzeba wprowadzić, aby stworzyć wynik? Moim zdaniem to jak zakręcenie głównej linii wodnej, a następnie odkręcenie kranu i oczekiwanie, że woda wypłynie.

2. W jaki sposób możemy v(t)(z linku powyżej) rozwiązać, jeśli nie wiemy dv(dt), aby znaleźć naturalną odpowiedź?

3. Jeśli możesz rozwinąć 2 koncepcje (naturalną reakcję i reakcję wymuszoną), wyjaśniając ich różnice w terminach laika, byłoby cudownie.

1. Podane równanie 10dy/dt + 24y = 48oznacza rate of change of output + 24 * output = 48. Warunki początkowe to y(0)=5i dy/dt=0.
   • Oznaczałoby to, że dane wejściowe brzmią 48/(24*5)Czy to prawidłowe założenie? Rozwiązaniem tego jest 0.4stałe wejście?

Pomyśl o prostym układzie mechanicznym, takim jak elastyczny pręt lub blok przymocowany do sprężyny przeciw grawitacji, w prawdziwym świecie. Za każdym razem, gdy podasz systemowi impuls (do bloku lub paska), zaczną drgać i wkrótce przestaną się poruszać.

Istnieją sposoby na przeanalizowanie takiego systemu. Dwa najczęstsze sposoby to:

1. Kompletne rozwiązanie = jednorodne rozwiązanie + konkretne rozwiązanie

2. Pełna odpowiedź = Resopnse naturalne (wejście zerowe) + odpowiedź wymuszona (stan zerowy)

Ponieważ system jest taki sam, oba powinny dać to samo równanie końcowe reprezentujące to samo zachowanie. Ale możesz je rozdzielić, aby lepiej zrozumieć, co fizycznie oznacza każda część (szczególnie druga metoda).

W pierwszej metodzie myślisz więcej z punktu widzenia systemu LTI lub równania matematycznego (równanie różniczkowe), w którym można znaleźć jego jednorodne rozwiązanie, a następnie konkretne rozwiązanie. Rozwiązanie jednorodne może być postrzegane jako przejściowa odpowiedź twojego systemu na to wejście (plus jego warunki początkowe), a konkretne rozwiązanie może być postrzegane jako stały stan twojego systemu po / z tym wejściem.

Druga metoda jest bardziej intuicyjna: naturalna reakcja oznacza, jaka jest reakcja systemu na jego stan początkowy. A reakcja wymuszona jest odpowiedzią systemu na dane dane wejściowe, ale bez warunków początkowych. Myśląc w kategoriach tego podanego przeze mnie paska lub bloku, możesz sobie wyobrazić, że w pewnym momencie popchnąłeś pasek rękami i tam go trzymasz. To może być twój stan początkowy. Jeśli po prostu pozwolisz temu odejść, oscyluje, a następnie zatrzyma się. To naturalna reakcja twojego systemu na ten stan.

Możesz także pozwolić mu odejść, ale wciąż daje dodatkową energię systemowi, uderzając go wielokrotnie. System będzie miał naturalną reakcję, jak poprzednio, ale będzie też wykazywał dodatkowe zachowanie dzięki dodatkowym trafieniom. Po znalezieniu pełnej odpowiedzi systemu za pomocą drugiej metody można wyraźnie zobaczyć, jakie jest naturalne zachowanie systemu z powodu tych warunków początkowych i jaka jest reakcja systemu, jeśli miałby tylko dane wejściowe (bez warunków początkowych). Oba razem będą reprezentować całe zachowanie systemu.

I zauważ, że odpowiedź stanu zerowego (reakcja wymuszona) może również składać się z części „naturalnej” i „określonej”. Dzieje się tak, ponieważ nawet przy braku warunków początkowych, jeśli dasz sygnał wejściowy do systemu, będzie on miał odpowiedź przejściową + odpowiedź stanu stałego.

Przykładowa odpowiedź: wyobraź sobie, że twoje równanie reprezentuje następujący obwód:

Która moc wyjściowa y (t) jest prądem w obwodzie. I wyobraź sobie, że twoje źródło jest źródłem prądu stałego o napięciu +48 V. W ten sposób, sumując napięcie elementu w tej zamkniętej ścieżce, otrzymujesz:

$\epsilon=V_L+V_R$

Możemy przepisać napięcie cewki indukcyjnej i napięcie rezystora pod względem prądu:

$\epsilon=L\frac{di}{dt} + Ri$

Jeśli mamy źródło zasilania + 48VDC i L = 10H i R = 24Ohm, to:

$48=10\frac{di}{dt}+24i$

co jest dokładnie równaniem, którego użyłeś. Tak więc, wyraźnie twój wkład do systemu (obwód RL) to twoje zasilanie tylko + 48 V. Więc twój wkład = 48.

Początkowe warunki, które masz to y (0) = 5 i y '(0) = 0. Fizycznie oznacza to, że w momencie = 0 mój prąd obwodu wynosi 5A, ale nie zmienia się. Może się wydawać, że coś wcześniej wydarzyło się w obwodzie, co pozostawiało prąd w cewce indukcyjnej 5A. Tak więc w danym momencie (momencie początkowym) parapet ma te 5A (y (0) = 5), ale nie rośnie ani nie maleje (y '(0) = 0).

Rozwiązanie:

najpierw przyjmujemy naturalną odpowiedź w formacie:$Ae^{st}$

a następnie znajdziemy zachowanie systemu ze względu na jego stan początkowy, tak jakbyśmy nie mieli zasilacza ( ), co jest odpowiedzią na wejście zerowe:$\epsilon=0$

$10sAe^{st} + 24Ae^{st} = 0$

$Ae^{st}(10s + 24)=0$

$s=-2,4$

Więc,

$i_{ZI}(t)=Ae^{-2,4t}$

Ponieważ wiemy, że i (0) = 5:

$i(0)=5=Ae^{-2,4 . 0}$

$A=5$

$i_{ZI}(t)=5e^{-2,4t}$

Pamiętaj, że do tej pory wszystko jest spójne. To ostatnie równanie reprezentuje odpowiedź systemu bez danych wejściowych. Jeśli ustawię t = 0, znajdę i = 5, które odpowiadają warunkowi początkowemu. A jeśli wstawię , znajdę i = 0, co również ma sens, jeśli nie mam żadnego źródła.$t=+\infty$

Teraz możemy znaleźć konkretne rozwiązanie równania, które będzie reprezentować stan stały ze względu na obecność zasilacza (wejście):

zakładamy teraz, że gdzie jest stałą wartością, która reprezentuje wyjście systemu w stanie stałym, ponieważ wejście jest również stałe. Dla każdego systemu format wyjściowy zależy od formatu wejściowego: jeśli wejście jest sygnałem sinusoidalnym, wyjście również będzie. W tym przypadku mamy tylko stałe wartości, które ułatwiają wszystko.$i(t)=c$$c$

Więc,

$\frac{di}{dt}=0$

następnie,

$48 = 0.10 + 24c$ (przy użyciu równania różniczkowego)

$c=2$

$i(\infty)=2$

co ma również sens, ponieważ mamy zasilacz prądu stałego. Zatem po przejściowej reakcji włączenia zasilacza prądu stałego induktor będzie zachowywał się jak drut i uzyskamy obwód rezystancyjny o R = 24 Ω. Następnie powinniśmy mieć prąd 2A, ponieważ zasilacz ma napięcie 48V.

Pamiętaj jednak, że jeśli dodam oba wyniki, aby znaleźć pełną odpowiedź, uzyskamy:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t}$

Teraz pomieszałem rzeczy w stanie przejściowym, ponieważ jeśli ustawię t = 0, nie znajdziemy już i = 5 jak poprzednio. A my mają się znaleźć i = 5 gdy t = 0, ponieważ jest to warunek początkowy podane. Wynika to z faktu, że odpowiedź stanu zerowego ma naturalny termin, którego nie ma, a także ma taki sam format, jak wcześniej. Dodanie go tam:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{st}$

Stała czasowa jest taka sama, więc pozostało nam tylko B:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} + Be^{-2,4t}$

I wiemy, że:

$i(t) = 2 + 5 + B = 5$ (t = 0)

Więc,

$B=-2$

Zatem twoje kompletne rozwiązanie to:

$i(t) = 2 + 5e^{-2,4t} - 2e^{-2,4t}$

możesz pomyśleć o tym ostatnim okresie, który uważamy za termin korekty wymuszonej odpowiedzi w celu dopasowania do warunków początkowych. Innym sposobem na znalezienie tego jest wyobrażenie sobie tego samego systemu, ale nie bez warunków początkowych. Następnie rozwiązując całą sprawę, mielibyśmy:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t}$

Ale ponieważ nie bierzemy teraz pod uwagę warunków początkowych (i (0) = 0), to:

$i_{ZS}(t) = 2 + Ae^{-2,4t} = 0$

A kiedy t = 0:

$A=-2$

więc wymuszona (zerowa) reakcja twojego systemu to:

$i_{ZS}(t) = 2 - 2e^{-2,4t}$

Jest to trochę mylące, ale teraz możesz patrzeć na rzeczy z różnych perspektyw.

-Homogeniczne / szczególne rozwiązania:

$i(t) = i_p(t)+i_n(t) = 2 + 3e^{-2,4t}$

Pierwszy termin (2) jest szczególnym rozwiązaniem i reprezentuje stan stały. Reszta po prawej stronie to reakcja przejściowa, zwana także jednorodnym rozwiązaniem równania. Niektóre książki nazywają to również reakcją naturalną i reakcją wymuszoną, ponieważ pierwsza część to część wymuszona (z powodu zasilania), a druga część to część przejściowa lub naturalna (charakterystyka systemu). Myślę, że jest to najszybszy sposób na znalezienie pełnej odpowiedzi, ponieważ wystarczy tylko raz znaleźć stan stały i naturalną. Ale może nie być jasne, co reprezentuje.

-Zero stanu wejściowego / zerowego:

$i(t) = i_{ZS}(t)+i_{ZI}(t) = 2 - 2e^{-2,4t} + 5e^{-2,4t}$

zauważ, że jest to to samo równanie, ale drugi człon jest podzielony na dwie części. Teraz pierwsze dwa terminy ( ) reprezentują odpowiedź stanu zerowego. Innymi słowy, co by się stało z systemem, gdyby nie było prądu początkowego i włączyłeś źródło zasilania + 48 V.$2 - 2e^{-2,4t}$

Druga część ( ) reprezentuje odpowiedź zerowego wejścia. Pokazuje, co stałoby się z systemem, gdyby nie podano żadnych danych wejściowych (źródło zasilania pozostało w 0v). Jest to tylko wykładniczy warunek, który zbliżyłby się do zera, ponieważ nie ma danych wejściowych.$5e^{-2,4t}$

Niektóre osoby nazywają ten format naturalnej / wymuszonej odpowiedzi. Naturalną częścią byłoby zero-wejściowe, a wymuszoną częścią byłoby zero-stan, który, nawiasem mówiąc, składa się z terminu naturalnego i określonego terminu.

Ponownie wszystkie dadzą ci ten sam wynik, który reprezentuje zachowanie całej sytuacji, w tym źródło zasilania i warunki początkowe. Zwróć uwagę, że w niektórych przypadkach może być przydatne użycie drugiej metody. Dobrym przykładem jest sytuacja, w której używasz zwojów i możesz znaleźć odpowiedź impulsową na swój system w stanie zerowym. Więc złamanie tych terminów może pomóc ci zobaczyć wszystko wyraźnie, a także użycie odpowiedniego terminu do zwołania.

Jak może być naturalna reakcja? Coś trzeba wprowadzić, aby stworzyć wynik?

Jeśli to pomaga, pomyśl o naturalnej reakcji jako o wymuszonej odpowiedzi na impuls wejściowy.

Moim zdaniem to jak zakręcenie głównej linii wodnej, a następnie odkręcenie kranu i oczekiwanie, że woda wypłynie.

Wyobraź sobie, że magistrala wodna jest podłączona do dużego zbiornika retencyjnego, takiego jak stosowany w systemach studni, i zamykasz zawór do magistrali wodnej.

Zbiornik został napełniony wodą i przed zamknięciem zaworu jest pod ciśnieniem do głównego ciśnienia wody. To jest warunek początkowy .

Jeśli otworzysz kran, woda wypłynie . Zbiornik retencyjny będzie dostarczał wodę przez pewien czas, gdy zbiornik retencyjny zostanie opróżniony, a ciśnienie na kurku spadnie. Ten malejący przepływ wody i spadające ciśnienie byłyby naturalną reakcją systemu.

Teraz, po opróżnieniu zbiornika do przechowywania, szybko otwórz główny zawór wody, gdy kran jest nadal otwarty.

Większość przepływu wody początkowo „ładuje” zbiornik retencyjny, a gdy zbiornik się napełnia i ciśnienie rośnie, woda przepływa coraz szybciej z kranu, aż zbiornik będzie pełny, a przepływ i ciśnienie ustabilizują się.

Jest to wymuszona odpowiedź na wejście krokowe .

Jest to problem polegający na tym, że podręczniki nie definiują wszystkiego jasno, aby każdy mógł zrozumieć definicje. Naturalna reakcja naprawdę mówi o systemie, który został (w pewnym momencie) „naładowany” tak, że elementy magazynujące energię zawierają pewną ilość energii początkowej, co może przełożyć się na napięcie początkowe w kondensatorze lub prąd początkowy w cewce indukcyjnej. Powodują to wartości warunków początkowych dla kondensatorów lub cewek indukcyjnych. Następnie, powiedzmy, czas t = 0, zakłada się, że magiczne źródło, które było odpowiedzialne za energetyzowanie obwodu, zostało natychmiast usunięte. Zatem jeśli magiczne źródło było źródłem napięcia, wówczas „usunięcie go” może oznaczać fizyczne usunięcie go lub wyłączenie z obwodu. W chwili t = 0 naturalną reakcją będzie po prostu zachowanie się prądu przez cewkę lub kondensator lub napięcia na kondensatorze lub cewce. Obwód jest zasilany tylko przez te początkowo naładowane komponenty (ponieważ zakładamy, że nie ma wejścia „zewnętrznego” źródła dla czasu t = 0 wzwyż).

Tak więc, dla naturalnej odpowiedzi, tak naprawdę jest to przypadek, w którym „kiedyś” było jakieś wejście zewnętrzne do wytworzenia warunków początkowych w cewkach indukcyjnych i kondensatorach. Teraz, gdyby system nie był ładowany na początku tak, że wszystkie napięcia i prądy kondensatora i cewki indukcyjnej byłyby zerowe, to jaka byłaby naturalna reakcja systemu? Odpowiedź: zero.

Odpowiedź wymuszona jest odpowiedzią obwodu (na przykład zachowanie napięcia lub prądu) w przypadku, gdy zakładamy, że cewki indukcyjne i kondensatory nie mają na początku energii początkowej, co oznacza brak napięcia początkowego lub prądów początkowych w tych elementach . A potem nagle przykładamy zewnętrzną siłę (źródło) do wejścia obwodu. Zachowanie prądów i / lub napięć w obwodzie w tym scenariuszu zostało właśnie nazwane .... zwane reakcją wymuszoną. Zasadniczo jest to odpowiedź na źródło wejściowe oparte na założeniu, że zaczęliśmy od warunków początkowych energii ZERO w cewkach i kondensatorach.

Po zastosowaniu metod wygodnego uzyskania naturalnej odpowiedzi i reakcji wymuszonej, po prostu dodajemy obie części, aby uzyskać pełny obraz. Coś w rodzaju zasady superpozycji.

W tym kontekście nie znam pojęcia „wymuszona reakcja”, ale proszę bardzo. Wiele systemów można scharakteryzować jako pierwsze zamówienie plus czas martwy (FOPDT). „Naturalną reakcją” takiego systemu na bodziec jest początkowe opóźnienie, po którym następuje wykładnicze podejście do nowego stanu ustalonego.

Pomyśl o grzałce zasilanej ze źródła o zmiennym napięciu. Warunki początkowe to wyłączenie zasilania i grzałka w temperaturze otoczenia. Włącz przy powiedzmy 10 woltów. Przez krótki czas (czas martwy) temperatura grzałki się nie zmienia. Następnie temperatura zaczyna gwałtownie wzrastać, najpierw stopniowo, a następnie stopniowo osiadać w nowym stanie ustalonym. Jeśli dokładnie obserwujesz zaangażowane czasy, będziesz mieć trzy naturalne cechy systemu:

1. Zysk - wyrażony jako stopnie / wolt. Jeśli 10 woltów spowodowało wzrost o 20 stopni, to zysk = 2. Tak więc dla 20 woltów należy oczekiwać wzrostu o 40 stopni w stosunku do otoczenia.
2. Czas martwy - opóźnienie, którego należy oczekiwać w odpowiedzi na zmianę danych wejściowych. (bezwładność)
3. Stała czasowa lub częstotliwość naturalna - czas od początku zmiany do stanu ustalonego wynosi 5 stałych czasowych. (jak ładowanie kondensatora)

Na podstawie tych danych można przewidzieć, jakiej zmiany temperatury należy się spodziewać dla danej zmiany napięcia i jak długo to potrwa, tj. Naturalną reakcję.

Zakładam, że „wymuszona reakcja” pociągałaby za sobą nadmierną stymulację systemu, aby uzyskać szybszy wynik. Tak więc, aby zwiększyć 30 stopni, wiemy, że potrzebujemy 15-woltowego wzrostu mocy wejściowej. Zwiększając napięcie o 25 woltów na krótko, a następnie cofając się o 10 woltów, moglibyśmy szybciej osiągnąć pożądaną temperaturę końcową, tj. „Wymuszając” szybszą reakcję.