Podstawowym równaniem wiązki jest
$$ dfrac {tekst {d} ^ 2} {tekst {d} x ^ 2} z lewej (EIfrfr {tekst} d {2}} {tekst {d} x ^ 2} ) = q $$
Co zasadniczo przekłada się na „czwartą pochodną funkcji odchylania jest równa zastosowanemu obciążeniu”. w rzeczywistości
- pierwsza pochodna to styczna odchylenia, która dla małych kątów jest w przybliżeniu równa kątowi ugięcia
- druga pochodna to moment zginający
- trzecia pochodna to siła ścinająca
- czwarta pochodna (powtarzająca się) to zastosowane obciążenie.
Wszystkie wyniki ugięcia uzyskuje się za pomocą tego równania.
Aby uprościć tę odpowiedź, zacznę od drugiej pochodnej, momentu zginającego, ponieważ (i po niej) jest trywialny do znalezienia przez inspekcję.
W przypadku belki o prostym podparciu ze skoncentrowanym obciążeniem w środku rozpiętości, mamy:
$$ {wyrównaj}
M & amp; = rozpocznij {przypadki}
dfrac {Fx} {2} & amp; tekst {for} x w [0, dfrac {L} {2}]
dfrac {F (L-x)} {2} i tekst {for} x w [dfrac {L} {2}, L]
end {przypadki}
EI theta = int M tekst {d} x & amp; = rozpocznij {przypadki}
dfrac {Fx ^ 2} {4} + C_1 i amp; tekst {for} x w [0, dfrac {L} {2}]
dfrac {FLx} {2} - dfrac {Fx ^ 2} {4} + C_2 i amp; tekst {for} x w [dfrac {L} {2}, L]
end {przypadki}
Delta EI = EI int theta {d} x & amp; = początek {przypadki}
dfrac {Fx ^ 3} {12} + C_1x + C_3 & amp; tekst {for} x w [0, dfrac {L} {2}]
dfrac {FLx ^ 2} {4} - dfrac {Fx ^ 3} {12} + C_2x + C_4 & amp; tekst {for} x w [dfrac {L} {2}, L]
koniec {przypadki}
end {align} $$
Wiemy, że $ delta (0) = delta (L) = 0 $ i ta $ tta w lewo (dfrac {L} {2} ^ + w prawo) = theta w lewo (frfr {L} {2} ^ - right) $ i $ delta left (dfrac {L} {2} ^ + right) = delta left (dfrac {L} {2} ^ - right) $ ( to znaczy ugięcie i kąt są ciągłe przy $ dfrac {L} {2} $).
Więc rozwiązujesz to:
$$ {zbieraj}
delta (0) = C_3 = 0
delta (L) = dfrac {FL ^ 3} {4} - dfrac {FL ^ 3} {12} + C_2L + C_4 = 0
dlatego C_4 = - dfrac {FL ^ 3} {6} - C_2L
theta left (dfrac {L} {2} ^ + right) = theta left (dfrac {L} {2} ^ - right)
dlatego dfrac {FL ^ 2} {16} + C_1 = dfrac {FL ^ 2} {4} - dfrac {FL ^ 2} {16} + C_2
dlatego C_1 = dfrac {FL ^ 2} {8} + C_2
delta po lewej (dfrac {L} {2} ^ + po prawej) = delta po lewej (refrak {L} {2} ^ - prawo)
dlatego dfrac {FL ^ 3} {96} + frfrac {FL ^ 3} {16} + frfrac {C_2L} {2} = frfrac {FL ^ 3} {16} - frfrac {FL ^ 3 } {96} + dfrac {C_2L} {2} - dfrac {FL ^ 3} {6} - C_2L
dlatego C_2 = - dfrac {9FL ^ 2} {48}
dlatego C_1 = - dfrac {3FL ^ 2} {48}
dlatego C_4 = dfrac {FL ^ 3} {48}
end {gather} $$
Teraz, poprzez inspekcję, możemy łatwo zobaczyć, że ugięcie znajduje się w środku rozpiętości, więc obliczmy to (nie ma znaczenia, które równanie $ delta $ wybrałeś).
$$ delta left (dfrac {L} {2} right) = dfrac {1} {EI} left (dfrac {FL ^ 3} {96} - dfrac {3FL ^ 3} {96} } right) = - dfrac {FL ^ 3} {48EI} $$
Ten sam proces można powtórzyć dla belki wspornikowej, tylko że jest znacznie prostszy
$$ {wyrównaj}
M & amp = FL - Fx
EI theta = int M tekst {d} x & amp; = FLx - dfrac {Fx ^ 2} {2} + C_1
Delta EI = EI int theta {d} x & amp; = reffr {FLx ^ 2} {2} - dfrac {Fx ^ 3} {6} + C_1x + C_2
theta (0) i = C_1 = 0
delta (0) i = C_2 = 0
dlatego EI Delta & amp = =frac {FLx ^ 2} {2} - dfrac {Fx ^ 3} {6}
dlatego delta (L) i = = frac {FL ^ 3} {3EI}
end {align} $$