Moduł zginania dla belki zamocowanej na jednym końcu

1

W przypadku belki podtrzymywanej na obu końcach masą w środku moduł sprężystości podany jest przez:

$$ E_b = frac {F L ^ 3} {48I d} $$

z I jako momentem obszaru

$$ I = frac {1} {12} wh ^ 3 $$

Flexural modulus measurement

Jak zmienia się wyrażenie modułu, jeśli mamy jeden stały koniec, jak na poniższym diagramie?

scenario

ja72 stwierdza w tej odpowiedzi że

$$ E_b = frac {F L ^ 3} {3I d} $$

Ale nie mam jasności co do wyprowadzenia.

ldgorman
źródło

Odpowiedzi:

2

Podstawowym równaniem wiązki jest

$$ dfrac {tekst {d} ^ 2} {tekst {d} x ^ 2} z lewej (EIfrfr {tekst} d {2}} {tekst {d} x ^ 2} ) = q $$

Co zasadniczo przekłada się na „czwartą pochodną funkcji odchylania jest równa zastosowanemu obciążeniu”. w rzeczywistości

  • pierwsza pochodna to styczna odchylenia, która dla małych kątów jest w przybliżeniu równa kątowi ugięcia
  • druga pochodna to moment zginający
  • trzecia pochodna to siła ścinająca
  • czwarta pochodna (powtarzająca się) to zastosowane obciążenie.

Wszystkie wyniki ugięcia uzyskuje się za pomocą tego równania.

Aby uprościć tę odpowiedź, zacznę od drugiej pochodnej, momentu zginającego, ponieważ (i po niej) jest trywialny do znalezienia przez inspekcję.

W przypadku belki o prostym podparciu ze skoncentrowanym obciążeniem w środku rozpiętości, mamy:

$$ {wyrównaj} M & amp; = rozpocznij {przypadki} dfrac {Fx} {2} & amp; tekst {for} x w [0, dfrac {L} {2}] dfrac {F (L-x)} {2} i tekst {for} x w [dfrac {L} {2}, L] end {przypadki} EI theta = int M tekst {d} x & amp; = rozpocznij {przypadki} dfrac {Fx ^ 2} {4} + C_1 i amp; tekst {for} x w [0, dfrac {L} {2}] dfrac {FLx} {2} - dfrac {Fx ^ 2} {4} + C_2 i amp; tekst {for} x w [dfrac {L} {2}, L] end {przypadki} Delta EI = EI int theta {d} x & amp; = początek {przypadki} dfrac {Fx ^ 3} {12} + C_1x + C_3 & amp; tekst {for} x w [0, dfrac {L} {2}] dfrac {FLx ^ 2} {4} - dfrac {Fx ^ 3} {12} + C_2x + C_4 & amp; tekst {for} x w [dfrac {L} {2}, L] koniec {przypadki} end {align} $$

Wiemy, że $ delta (0) = delta (L) = 0 $ i ta $ tta w lewo (dfrac {L} {2} ^ + w prawo) = theta w lewo (frfr {L} {2} ^ - right) $ i $ delta left (dfrac {L} {2} ^ + right) = delta left (dfrac {L} {2} ^ - right) $ ( to znaczy ugięcie i kąt są ciągłe przy $ dfrac {L} {2} $).

Więc rozwiązujesz to:

$$ {zbieraj} delta (0) = C_3 = 0 delta (L) = dfrac {FL ^ 3} {4} - dfrac {FL ^ 3} {12} + C_2L + C_4 = 0 dlatego C_4 = - dfrac {FL ^ 3} {6} - C_2L theta left (dfrac {L} {2} ^ + right) = theta left (dfrac {L} {2} ^ - right) dlatego dfrac {FL ^ 2} {16} + C_1 = dfrac {FL ^ 2} {4} - dfrac {FL ^ 2} {16} + C_2 dlatego C_1 = dfrac {FL ^ 2} {8} + C_2 delta po lewej (dfrac {L} {2} ^ + po prawej) = delta po lewej (refrak {L} {2} ^ - prawo) dlatego dfrac {FL ^ 3} {96} + frfrac {FL ^ 3} {16} + frfrac {C_2L} {2} = frfrac {FL ^ 3} {16} - frfrac {FL ^ 3 } {96} + dfrac {C_2L} {2} - dfrac {FL ^ 3} {6} - C_2L dlatego C_2 = - dfrac {9FL ^ 2} {48} dlatego C_1 = - dfrac {3FL ^ 2} {48} dlatego C_4 = dfrac {FL ^ 3} {48} end {gather} $$

Teraz, poprzez inspekcję, możemy łatwo zobaczyć, że ugięcie znajduje się w środku rozpiętości, więc obliczmy to (nie ma znaczenia, które równanie $ delta $ wybrałeś).

$$ delta left (dfrac {L} {2} right) = dfrac {1} {EI} left (dfrac {FL ^ 3} {96} - dfrac {3FL ^ 3} {96} } right) = - dfrac {FL ^ 3} {48EI} $$


Ten sam proces można powtórzyć dla belki wspornikowej, tylko że jest znacznie prostszy

$$ {wyrównaj} M & amp = FL - Fx EI theta = int M tekst {d} x & amp; = FLx - dfrac {Fx ^ 2} {2} + C_1 Delta EI = EI int theta {d} x & amp; = reffr {FLx ^ 2} {2} - dfrac {Fx ^ 3} {6} + C_1x + C_2 theta (0) i = C_1 = 0 delta (0) i = C_2 = 0 dlatego EI Delta & amp = =frac {FLx ^ 2} {2} - dfrac {Fx ^ 3} {6} dlatego delta (L) i = = frac {FL ^ 3} {3EI} end {align} $$

Wasabi
źródło
1

„Ja” nie zmienia się w różnych sytuacjach. „I” jest właściwością przekroju poprzecznego belki - prostokątem o szerokości w i głębokości h. Równania Eb są poprawne dla przedstawionych sytuacji, z następującymi zastrzeżeniami:

  • Pierwsza sytuacja nie dotyczy wiązki zamocowanej na obu końcach jest dla belki, która jest podparta na obu końcach, ale nie „naprawiona”. „Naprawiono” oznacza ciągłość momentu, w którym to przypadku „48” w równanie będzie równe „192”.

  • Druga sytuacja wymaga ustalenia warunku końcowego - jeśli tak jest obsługiwane, ale nie naprawione (co jest pokazane na diagramie), to jest mechanizmem.

achrn
źródło
Więc biorąc pod uwagę jeden stały scenariusz, jak dojść do tego współczynnika 1/3?
ldgorman
Jaki współczynnik 1/3? Odchylenie w punkcie środkowym dla prostej podpory z obciążeniem punktowym w midpsan jest równe (przyjęta tutaj terminologia) (f L ^ 3) / (48 E I). Ugięcie na końcu dla wspornika z obciążeniem punktowym na końcu jest równe (f L ^ 3) / 3 E I). Wasabi udzielił pierwszej odpowiedzi, ale większość ludzi po prostu wyciągnie je z arkusza „standardowego rozwiązania” lub bazy danych.
achrn