Jaki poziom błędu napotkałem, przybliżając ziemię jako kulę? W szczególności, gdy mamy do czynienia z lokalizacją punktów i na przykład odległościami między dużymi okręgami.
Czy są jakieś badania dotyczące średniego i najgorszego błędu w porównaniu do elipsoidy? Zastanawiam się, ile dokładności poświęciłbym, gdybym poszedł z kulą dla łatwiejszych obliczeń.
Mój szczególny scenariusz dotyczy bezpośredniego mapowania współrzędnych WGS84, tak jakby były współrzędnymi na idealnej kuli (ze średnim promieniem określonym przez IUGG) bez żadnej transformacji.
coordinate-system
distance
spherical-geometry
datum
accuracy
Jeff Bridgman
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Krótko mówiąc, odległość może być błędna do około 22 km lub 0,3%, w zależności od danych punktów. To jest:
Błąd można wyrazić na kilka naturalnych, użytecznych sposobów , takich jak (i) błąd resztkowy, równy różnicy między dwoma obliczonymi odległościami (w kilometrach), i (ii) błąd względny, równy różnicy podzielonej przez „poprawna” (elipsoidalna) wartość. Aby uzyskać liczby wygodne w użyciu, mnożę te współczynniki przez 1000, aby wyrazić względny błąd w częściach na tysiąc .
Błędy zależą od punktów końcowych. Ze względu na symetrię obrotową elipsoidy i kuli oraz ich dwustronne (północ-południe i wschód-zachód) symetria, możemy umieścić jeden z punktów końcowych gdzieś wzdłuż pierwszej południka (długość 0) na półkuli północnej (szerokość geograficzna między 0 a 90 ) i drugim punktem końcowym na półkuli wschodniej (długość geograficzna między 0 a 180).
Aby zbadać te zależności, narysowałem błędy między punktami końcowymi przy (lat, lon) = (mu, 0) i (x, lambda) w funkcji szerokości x między -90 a 90 stopni. (Wszystkie punkty są nominalnie na elipsoidalnej wysokości zero.) Na rysunkach rzędy odpowiadają wartościom mu w {0, 22,5, 45, 67,5} stopniach, a kolumny wartościom lambda w {0, 45, 90, 180} stopnie. To daje nam dobry widok na spektrum możliwości. Zgodnie z oczekiwaniami, ich maksymalne rozmiary to w przybliżeniu spłaszczenie (około 1/300) razy większa od osi głównej (około 6700 km) lub około 22 km.
Błędy
Błędy względne
Działka konturowa
Innym sposobem na zwizualizowanie błędów jest naprawienie jednego punktu końcowego i pozwolenie, aby drugi się zmieniał, konturując pojawiające się błędy. Tutaj na przykład jest wykres konturowy, w którym pierwszy punkt końcowy znajduje się na 45 stopniach szerokości geograficznej północnej i 0 stopniach długości geograficznej. Tak jak poprzednio, wartości błędów podano w kilometrach, a błędy dodatnie oznaczają, że obliczenia sferyczne są zbyt duże:
Może być łatwiej czytać, gdy jest zawinięty na całym świecie:
Czerwona kropka na południu Francji pokazuje lokalizację pierwszego punktu końcowego.
Dla przypomnienia, do obliczeń wykorzystano kod Mathematica 8 :
I jedno z poleceń drukowania:
źródło
Ostatnio badałem to pytanie. Myślę, że ludzie chcą wiedzieć
Rozsądną miarą jakości aproksymacji jest maksymalny bezwzględny błąd względny w odległości wielkiego koła
z maksimum ocenianym dla wszystkich możliwych par punktów.
Jeśli spłaszczenie f jest małe, promień sferyczny, który minimalizuje błąd, jest bardzo bliski (a + b) / 2, a wynikowy błąd wynosi około
(oceniane z losowo wybranymi parami punktów 10 ^ 6). Czasami sugeruje się użycie (2 * a + b) / 3 jako promienia sferycznego. Powoduje to nieco większy błąd, err = 5 * f / 3 = 0,56% (dla WGS84).
Geodezja, której długość jest najbardziej niedoceniana przez przybliżenie sferyczne, leży w pobliżu bieguna, np. (89,1) do (89,180). Geodezja, której długość jest najbardziej zawyżona w przybliżeniu sferycznym, jest południkowa w pobliżu równika, np. (-0,1,0) do (0,1,0).
DODATEK : Oto inny sposób rozwiązania tego problemu.
Wybierz pary równomiernie rozmieszczonych punktów na elipsoidzie. Zmierz elipsoidalną odległość s oraz odległość na kuli jednostkowej t . Dla dowolnej pary punktów s / t daje równoważny promień sferyczny. Uśrednij tę ilość we wszystkich parach punktów, co daje średni równoważny promień sferyczny. Jest pytanie, jak dokładnie należy zrobić średnią. Jednak wszystkie wybory próbowałem
wszystkie wyszły w odległości kilku metrów od zalecanego średniego promienia IUGG, R 1 = (2 a + b ) / 3. Zatem wartość ta minimalizuje błąd RMS w obliczeniach odległości sferycznej. (Jednak powoduje to nieco większy maksymalny błąd względny w porównaniu do ( a + b ) / 2; patrz powyżej.) Biorąc pod uwagę, że R 1 może być wykorzystywany do innych celów (obliczenia powierzchni i tym podobne), istnieje dobry powód, aby trzymaj się tego wyboru do obliczania odległości.
Dolna linia :
KOLEJNY DODATEK : Możesz wycisnąć nieco większą dokładność z odległości dużego koła, używając μ = tan- 1 ((1 - f ) 3/2 tanφ) (szerokość korygująca biedaka) jako szerokość geograficzną w obliczeniu wielkiego koła. Ogranicza to błąd względny od 0,56% do 0,11% (przy R 1 jako promień kuli). (Nie jest jasne, czy naprawdę warto zastosować to podejście, a nie bezpośrednio obliczać elipsoidalną odległość geodezyjną).
źródło