Jak napisać 2 ** n - 1 jako funkcję rekurencyjną?

Potrzebuję funkcji, która pobiera n i zwraca 2 ⁿ - 1 . Brzmi to dość prosto, ale funkcja musi być rekurencyjna. Do tej pory mam tylko 2 ⁿ :

def required_steps(n):
    if n == 0:
        return 1
    return 2 * req_steps(n-1)

Ćwiczenie stwierdza: „Możesz założyć, że parametr n jest zawsze dodatnią liczbą całkowitą i jest większy od 0”

2**n -1to także 1 + 2 + 4 + ... + 2 ^n-1, które można przekształcić w jedną funkcję rekurencyjną (bez drugiej, aby odjąć 1 od potęgi 2).

Wskazówka : 1 + 2 * (1 + 2 * (...))

Rozwiązanie poniżej, nie patrz, czy chcesz najpierw wypróbować podpowiedź.

Działa nto, jeśli jest gwarantowane, że jest większe od zera (tak jak faktycznie obiecano w opisie problemu):

def required_steps(n):
    if n == 1: # changed because we need one less going down
        return 1
    return 1 + 2 * required_steps(n-1)

Bardziej niezawodna wersja obsługiwałaby również wartości zerowe i ujemne:

def required_steps(n):
    if n < 0:
        raise ValueError("n must be non-negative")
    if n == 0:
        return 0
    return 1 + 2 * required_steps(n-1)

(Dodanie czeku dla liczb całkowitych jest pozostawione jako ćwiczenie).

Aby rozwiązać problem z podejściem rekurencyjnym, musisz dowiedzieć się, w jaki sposób możesz zdefiniować funkcję z danym wejściem w kategoriach tej samej funkcji z innym wejściem. W takim przypadku f(n) = 2 * f(n - 1) + 1możesz wykonać:

def required_steps(n):
    return n and 2 * required_steps(n - 1) + 1

po to aby:

for i in range(5):
    print(required_steps(i))

wyjścia:

0
1
3
7
15

Możesz wyodrębnić naprawdę rekurencyjną część do innej funkcji

def f(n):
    return required_steps(n) - 1

Lub możesz ustawić flagę i określić, kiedy odjąć

def required_steps(n, sub=True):
    if n == 0: return 1
    return 2 * required_steps(n-1, False) - sub

>>> print(required_steps(10))
1023

Używając dodatkowego parametru dla wyniku, r-

def required_steps (n = 0, r = 1):
  if n == 0:
    return r - 1
  else:
    return required_steps(n - 1, r * 2)

for x in range(6):
  print(f"f({x}) = {required_steps(x)}")

# f(0) = 0
# f(1) = 1
# f(2) = 3
# f(3) = 7
# f(4) = 15
# f(5) = 31

Możesz także napisać, używając bitowego przesunięcia w lewo, <<-

def required_steps (n = 0, r = 1):
  if n == 0:
    return r - 1
  else:
    return required_steps(n - 1, r << 1)

Dane wyjściowe są takie same

Miej symbol zastępczy, aby zapamiętać oryginalną wartość n, a następnie dla pierwszego kroku, tj. n == NPowrotu2^n-1

n = 10
# constant to hold initial value of n
N = n
def required_steps(n, N):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == N:
        return 2 * required_steps(n-1, N) - 1
    return 2 * required_steps(n-1, N)

required_steps(n, N)

Jednym ze sposobów uzyskania przesunięcia „-1” jest zastosowanie go w zwrocie z pierwszego wywołania funkcji za pomocą argumentu o wartości domyślnej, a następnie jawne ustawienie argumentu przesunięcia na zero podczas wywołań rekurencyjnych.

def required_steps(n, offset = -1):
    if n == 0:
        return 1
    return offset + 2 * required_steps(n-1,0)

Oprócz wszystkich wspaniałych odpowiedzi podanych wcześniej, poniżej pokażę jego implementację z funkcjami wewnętrznymi.

def outer(n):
    k=n
    def p(n):
        if n==1:
            return 2
        if n==k:
            return 2*p(n-1)-1
        return 2*p(n-1)
    return p(n)

n=5
print(outer(n))

Zasadniczo przypisuje globalną wartość od n do k i rekursuje ją za pomocą odpowiednich porównań.