Jaka jest różnica między systemem qudit z d = 4 a systemem qubit?

Rozumiem, że qudit jest kwantowa System -state. Jeśli , czy jest to dokładnie to samo, co układ dwóch kubitów, który również przedstawia stany kwantowe? Przestrzeń Hilberta jest taka sama, prawda? Czy są jakieś teoretyczne lub praktyczne różnice?d = 4 $d$$d=4$$4$

W przypadku kubitów zwykle opieramy wszystkich naszych operatorów na macierzach Pauliego. Nasz podstawowy zestaw bram składa się z samych matryc Pauli, bram Clifford, takich jak i które mapują między matrycami Pauli, kontrolowanych operacji, takich jak CNOT, które implementują Pauli na jednym kubicie w zależności od stanu własnego Pauli itp.$H$$S$

Dla każdej większej systemu wymiarowa kwantowej, musimy znaleźć podstawowy zestaw operatorów, którzy będą odgrywać taką samą rolę.$d$

Jednym z podejść jest uogólnienie macierzy Pauliego. Wybieramy grupę, której kolejność to , i definiujemy operatorów opartych na tej grupie. To jest mój podstawowy tekst na temat tego, jak to zrobić, chociaż w rzeczywistości jest on bardziej skoncentrowany na generalizacji kodów stabilizatora.$d$

Możemy również szukać inspiracji u operatorów spinów. Macierze Pauliego opisują układ spin- . W przypadku systemów o wyższych wymiarach moglibyśmy spojrzeć na operatory dla wyższego spinu. Nie mają jednak takich samych dobrych właściwości. To nie wydaje się być popularnym podejściem.$1/2$

Tak czy inaczej, przestrzeń Hilberta jest taka sama, a uniwersalna kontrola jakości oparta na nich jest taka sama. Jedyną różnicą jest nasz podstawowy zestaw bramek. Zatem liczba bramek wymaganych dla danego zadania może różnić się pod względem stałych i współczynników. A matematyka może być lepsza dla jednego od drugiego. Ale złożoność będzie taka sama.

Tak, przestrzeń Hilberta jest taka sama, ale musisz wybrać izomorfizm . Ale inna konfiguracja oznacza, że ​​niektóre jednostki, które będą łatwe do wdrożenia w jednej konfiguracji, będą trudne w drugiej. Na przykład, gdy 2 kubity bramek coś takiego jak będzie łatwe. Ale jeśli napiszesz to jako jednostkę 4 na 4 poprzez ten izomorfizm , może to nie być tak łatwe do wdrożenia. Powinieneś powiedzieć zarówno przestrzeń Hilberta, jak i proste operacje, które chcesz napisać pod względem programu.σ z ⊗ 1 $\phi : \; \; (\mathbb{C}^2)^{\otimes 2} \simeq \mathbb{C}^4$$\sigma_z \otimes 1$$\phi$

Zasadnicza różnica między tymi dwoma rodzajami systemów polega na tym, że układ dwóch kubitów może faktycznie być w stanie zaplątanym. Z drugiej strony pojedynczy układ d = 4 wymiarowy nie ma splątania, ponieważ splątanie jest zawsze definiowane w odniesieniu do więcej niż jednej strony. W związku z tym do celów protokołów kwantowych, które wykorzystują splątanie jako zasób, układ dwóch kubitów i pojedynczy 4-wymiarowy układ kwantowy są bardzo różne.

Istnieje również różnica, jeśli weźmie się pod uwagę eksperymenty lub implementacje. Aby stworzyć fizyczny kubit, muszę użyć dwupoziomowego układu kwantowego. Qudity wymagają bardziej skomplikowanego układu kwantowego, np. Z czterema poziomami dla ad = 4 qudit. Techniczne uzasadnienie zastosowania bardziej skomplikowanego systemu byłoby takie, że potrzebujesz mniej czterech czteropoziomowych systemów.

Jedyną różnicą między „ parą kubitów ” a pojedynczą „ czterowymiarową qudytą ” jest to, że kiedy mówisz, że masz „ dwa kubity ”, domyślnie przyjmujesz pewne założenia dotyczące rodzaju operacji, które możesz na nim wykonać.

W szczególności sensowne jest mówienie o dwóch kubitach tylko wtedy, gdy można je traktować jako dwa różne systemy lub, innymi słowy, jeśli można na nich działać lokalnie. Podobnie rodzaje operacji, które można założyć, że można wykonać na dwóch kubitach, są różne niż operacje na qudytach.

Z praktycznego punktu widzenia różnica polega na tym, że różne operacje uważa się za „łatwo dostępne”, mówiąc o zestawach kubitów zamiast (zestawów) qudytów.