Czy kulę Blocha można uogólnić na dwa kubity?

Sfera Blocha jest ładną wizualizacją pojedynczych stanów kubitowych. Matematycznie można go uogólnić na dowolną liczbę kubitów za pomocą wielowymiarowej hipersfery. Ale takie rzeczy nie są łatwe do wizualizacji.

Jakie podjęto próby rozszerzenia wizualizacji opartych na sferze Blocha do dwóch kubitów?

Dla stanów czystych istnieje dość prosty sposób na utworzenie „2-kubitowej sfery blocha” . Zasadniczo używasz rozkładu Schmidta, aby podzielić swój stan na dwa przypadki: nie splątane i całkowicie splątane. W przypadku części nie splątanej wystarczy użyć dwóch kul Blocha. A następnie część splątana jest izomorficzna w stosunku do zestawu możliwych rotacji w przestrzeni 3d (rotacja polega na tym, jak przekładasz pomiary na jednym kubicie na prognozy na drugim kubicie). To daje reprezentację z ośmioma rzeczywistymi parametrami:

1) Rzeczywista wartość w między 0 a 1, wskazująca wagę nieplątanego w porównaniu do pełnego splątania.

2 + 3) Nie splątany wektor bloczkowy dla qubit 1.

4 + 5) Nie splątany wektor bloczkowy dla qubit 2.

6 + 7 + 8) Całkowicie zaplątany obrót.

Oto, jak to wygląda, jeśli pokazujesz część obrotu jako „gdzie mapowane są osie XY i Z”, a dodatkowo skalujesz osie o w, aby stała się większa, im bardziej jesteś uwikłany:

(Odbijanie się w środkowej jest spowodowane degeneracją numeryczną w moim kodzie).

W przypadku stanów mieszanych odniosłem mały sukces, pokazując obwiednię wektorów blocha przewidywanych dla qubit 2, biorąc pod uwagę każdy możliwy pomiar qubit 1. Wygląda to tak:

Należy jednak zauważyć, że a) ta reprezentacja „obwiedni” nie jest symetryczna (jeden z kubitów jest formantem, a drugi jest celem) ib) chociaż wygląda ładnie, nie jest algebraicznie zwarty.

Ten ekran jest dostępny w alternatywnej gałęzi Quir -entanglement-display w Quirku. Jeśli jesteś w stanie postępować zgodnie z instrukcjami kompilacji, możesz grać z nim bezpośrednio.

Ponieważ nieredukowalna reprezentacja S U ( 2 ) spinu $j$ ma wymiar 2 j + 1 ( j jest w połowie liczbą całkowitą), można uzyskać dowolną skończoną przestrzeń Hilberta jako przestrzeń reprezentacji S U ( 2 ) . Ponadto, ponieważ wszystkie nieredukowalne reprezentacje S U ( 2 ) są symetrycznymi produktami tensora podstawowej reprezentacji spinora, dlatego każdą skończoną wymiarową przestrzeń Hilberta można traktować jako symetryczny produkt tensora podstawowej S U ( 2 )$SU(2)$$2j+1$$j$$SU(2)$$SU(2)$$SU(2)$ podstawowe przestrzenie reprezentacyjne.

Jest to podstawa konstrukcji gwiezdnej reprezentacji Majorany. Stan qudyty żyjącej w przestrzeni Hilberta o wymiarze $2j+1$ można przedstawić za pomocą $2j$ punktów na kuli Blocha. Wektor stanu można zrekonstruować z wektorów spinowych $2j$ (2-wymiarowych) punktów $2j$ za pomocą symetrycznego iloczynu tensorowego.

Biorąc pod uwagę wektor stanu w przestrzennej przestrzeni Hilberta $2j+1$ (patrz Liu, Fu i Wang , sekcja 2.1)

$z = \tan \theta e^{i\phi}$$\theta$$\phi$

Jednym z zastosowań tej reprezentacji do obliczeń kwantowych jest wizualizacja trajektorii prowadzących do faz geometrycznych, które służą jako bramki w holonomicznym obliczeniu kwantowym. Te trajektorie są odzwierciedlone jako trajektorie gwiazd Majorana na sferach Blocha, a fazy geometryczne można obliczyć z kątów stałych zawartych w tych trajektoriach. Zobacz pracę Liu i Fu na temat abelowych faz geometrycznych. Liu Roy i Stone zajmują się niektórymi przypadkami nieabelowymi .

Na koniec chciałbym zauważyć, że istnieje wiele reprezentacji geometrycznych związanych z obliczeniami kwantowymi, ale są one wielowymiarowe i mogą być ogólnie nieprzydatne jako narzędzia do wizualizacji. Zobacz na przykład Bernatską i Holod zajmującą się połączonymi orbitami, które mogą służyć jako przestrzenie fazowe skończonych wymiarów przestrzeni Hilberta używanych w obliczeniach kwantowych. Grassmannian, który parametryzuje stan kolektora adiabatycznych kwantowych hamiltonianów, jest szczególnym przykładem tych przestrzeni.

Aby uzyskać więcej niż 1-kubitową wizualizację, potrzebujemy bardziej złożonych wizualizacji niż sfera Blocha. Poniższa odpowiedź z Physics Stack Exchange dość autorytatywnie wyjaśnia tę koncepcję:

Kula Blocha dla 2 i więcej kubitów

W innym artykule dwie reprezentacje kubitów opisano jako siedmiowymiarową kulę, S7, która pozwala również na wibrację Hopfa, z włóknami S3 i bazą S4. Najbardziej uderzający wynik jest taki, że odpowiednio zorientowane fibracje S 7 Hopfa są wrażliwe na zaplątanie.

Geometria stanów splątanych, kule Blocha i fibryfikacja Hopfa

To powiedziawszy, podejście oparte na kuli Blocha jest dość przydatne nawet do modelowania zachowania kubitów w hałaśliwym otoczeniu. Przeprowadzono analizę układu dwóch kubitów za pomocą uogólnionego wektora Blocha do wygenerowania możliwych do obliczenia równań analitycznych dla dynamiki czteropoziomowych wektorów Blocha. Jest to oparte na zastosowaniu koncepcji geometrycznych ze znanej dwupoziomowej kuli Blocha.

Możemy stwierdzić, że w obecności szumu skorelowanego lub anty-skorelowanego szybkość dekoherencji jest bardzo wrażliwa na początkowy stan dwóch kubitów, a także na symetrię hamiltonianu. W przypadku braku symetrii w Hamiltonian korelacje tylko w niewielkim stopniu wpływają na wskaźnik dekoherencji:

Podejście Blocha-kuli do skorelowanego hałasu w połączonych kubitach

Jest jeszcze jeden interesujący artykuł badawczy na temat reprezentacji stanu czystego dwóch kubitów sparametryzowanych trzema jednostkowymi 2-sferami i współczynnikiem fazowym. Dla stanów, które można rozdzielić, dwie z trzech jednostkowych sfer są kulami Blocha każdego kubita o współrzędnych (A , A) i (B, B). Trzecia sfera parametryzuje stopień i fazę współbieżności, miarę splątania.

Sferę tę można uznać za „zmienną” złożoną jednostkę urojoną t, gdzie rzut stereograficzny odwzorowuje sferę Qubit-A Blocha na płaszczyznę złożoną z tą zmienną jednostką urojoną. Ten model kuli Blocha daje spójny opis stanów czystych dwóch kubitów dla stanów rozłącznych i splątanych.

Zgodnie z tą hipotezą trzecia sfera (sfera splątania) parametryzuje nielokalne właściwości, splątanie i nielokalną fazę względną, podczas gdy lokalne fazy względne są parametryzowane przez kąty azymutalne A i B dwóch sfer quasi-Blocha.

Model kuli Blocha dla dwojga

Mamy kilka wizualizacji na wielu kubitach w pakiecie Black Opal Q-CTRL .

Wszystkie są w pełni interaktywne i mają na celu budowanie intuicji na temat korelacji w interakcyjnych systemach dwóch kubitów.

Dwie sfery Blocha reprezentują odpowiednie stany rozdzielne dwóch kubitów. Czworościany pośrodku wizualnie rejestrują korelacje między niektórymi rzutami dwóch kubitów. Gdy nie ma splątania, wektory Blocha żyją całkowicie na powierzchniach odpowiednich sfer. Jednak w pełni uwikłane państwo żyje wyłącznie w przestrzeni korelacji w tej reprezentacji. Ekstrema tych przestrzeni będą zawsze stanami maksymalnie splątanymi, jak stany Bell, ale stany maksymalnie splątane mogą również znajdować się w wielu czworościanach jednocześnie.

Opublikowano na ten temat artykuł zatytułowany „Model kuli Blocha dla stanów czystych dwu kubitowych”

https://arxiv.org/abs/1403.8069