Jak próbkować punkty w przestrzeni hiperbolicznej?

Przestrzeń hiperboliczna w modelu górnej półprzestrzeni Poincaré wygląda jak zwykły ale z pojęciem kąta i odległości zniekształconym w stosunkowo prosty sposób. W przestrzeni euklidesowej mogę równomiernie próbkować losowy punkt w kuli na kilka sposobów, np. Generując niezależnych próbek Gaussa w celu uzyskania kierunku, i oddzielnie próbkować współrzędną promieniową poprzez równomierne próbkowanie od , gdzie jest promieniem, a ustawienie$\Bbb R^n$$n$$r$$s$$\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$$R$$r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$. W hiperbolicznej górnej płaszczyźnie połowy kula nadal jest kulą, tylko jej środek nie będzie środkiem w metrach euklidesowych, więc moglibyśmy zrobić to samo.

Jeśli chcemy próbkować według rozkładu nierównomiernego, ale wciąż w sposób izotropowy, np. Rozkład Gaussa, nie wydaje się to takie łatwe. W przestrzeni euklidesowej moglibyśmy po prostu wygenerować próbkę Gaussa dla każdej współrzędnej (działa to tylko dla rozkładu Gaussa) lub w równoważny sposób wygenerować wielowymiarową próbkę Gaussa. Czy istnieje bezpośredni sposób przekonwertowania tej próbki na próbkę w przestrzeni hiperbolicznej?

Alternatywnym podejściem może być najpierw wygenerowanie kierunku równomiernie rozłożonego kierunku (np. Z próbek Gaussa), a następnie próbki Gaussa dla komponentu promieniowego, a na koniec wygenerowanie obrazu pod mapą wykładniczą w określonym kierunku dla określonej długości. Odmiana polegałaby na pobraniu próbki euklidesowej Gaussa i zamapowaniu jej pod mapą wykładniczą.$n$

Moje pytania:

• jaki byłby dobry i skuteczny sposób na uzyskanie próbki Gaussa przy danych średnich i standardowych odchyleniach w przestrzeni hiperbolicznej?
• czy sposoby, które opisuję powyżej, zapewniają pożądane pobieranie próbek?
• czy ktoś już opracował formułę?
• jak to się uogólnia na inne wskaźniki i inne rozkłady prawdopodobieństwa?

Z góry dziękuję.

EDYTOWAĆ

Właśnie zdałem sobie sprawę, że nawet w przypadku jednolitego pobierania próbek pytania te pozostają; nawet jeśli kula jest kulą, rozkład równomierny nie byłby opisany przez stałą funkcję na kuli.

Jestem w trakcie robienia tego dla siebie. Myślę, że najbardziej odpowiednim analogiem do Gaussa byłoby jądro ciepła w przestrzeni hiperbolicznej. Na szczęście zostało to ustalone wcześniej: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf (dostępny również w Biuletynie London Mathematical Society ).

Jeśli użyjesz standardowego rozpadu ( $e^{-dist^2/constant}$ ), spodziewam się, że całkowita masa będzie większa niż 1, z powodu wykładniczego wzrostu objętości wraz z promieniem dla przestrzeni hiperbolicznej.

Aby równomiernie próbkować na danej kulce (lub innym zwartym zestawie), można wykonać próbne odrzucenie z formą objętości:

Oto jednolita próbka dla kulki o promieniu 3 wyśrodkowanej na początku:

W razie potrzeby chętnie powiem więcej. Pomyślałem, że to powiem, ponieważ wyraźnie było to zainteresowanie, przynajmniej w przeszłości.

Stała pi jest tylko stałą w przestrzeni euklidesowej. Wartość pi jest inna w innych geometriach. Parametr pi zmienia masę prawdopodobieństwa pod Gaussa. Parametr pi służy do normalizacji prawdopodobieństw. Właśnie zaczynam się uczyć.

Jakiś czas temu doszedłem do wniosku, że przestrzeń zmienia się z hiperbolicznej na euklidesową w sferyczną wraz ze wzrostem liczby sigm. Z przyjemnością natknąłem się na dyskusję o kręgach w każdej przestrzeni i pi jako funkcję przestrzeni Lp za pomocą parametru p.

$n$