Powszechnie stosowane mierniki do oceny nieregularności siatki trójkątnej

9

Załóżmy, że masz trójkątną siatkę na płaskiej płaszczyźnie. Zostało to narysowane, aby w końcu rozwiązać jakiś problem na przykład w mechanice.

Siatka trójkątów równobocznych jest najlepsza, ponieważ odległości między wierzchołkami i między centroidami są takie same. To sprawia, że ​​interpolacje i obliczanie gradientów są łatwym i dokładnym zadaniem. Jednak ze względu na ograniczenia i okoliczności nie zawsze można pracować na siatce wszystkich trójkątów równobocznych.

Pytania dotyczą więc siatki trójkątnych elementów o dowolnym kształcie.

Dotyczące poszczególnych elementów siatki . Jakie mierniki są powszechnie stosowane do oceny ilościowej podobieństwa jednego trójkąta ogólnego do jakiegoś idealnego kształtu równobocznego?

Dotyczy całej siatki . Jakie mierniki są używane do obliczania nieregularności siatki arbitralnych trójkątów jako całości? Te wskaźniki powinny wskazywać, jak zakodowana jest siatka.

Dzięki za myślenie.

Uwaga: Wszystkie opinie społeczności elementów skończonych zostały bardzo docenione. W przypadku tego pytania należy zauważyć, że celem jest ilościowe określenie różnic wyłącznie w geometrii (dowolne trójkąty równoboczne). Późniejszy wpływ na błędy interpolacji i warunkowania jest poza zakresem. To prawda, że ​​mogą być wnikliwe i odpowiednie, komplikują matematyczne postępowanie.

XavierStuvw
źródło
4
Czy sprawdziłeś to pytanie ? I z tego postu: „Co to jest dobry element skończony?”.
nicoguaro
3
Myślę, że stosunek obszarów / promieni między kołem a okręgiem może działać. Stosunek wartości własnych kątów jakobijskich, minimalnych i maksymalnych również.
nicoguaro
4
Jeden z najbardziej znanych artykułów Shewchucka szczegółowo omawia ten temat: Co to jest dobry liniowy element skończony?
Paweł
@nicoguaro Thanks. Mnie nie interesuje specjalnie MES, ale kwantyfikacja różnic w kształcie elementów. Czy mógłbyś na przykład opracować stosunki promieni? Czy to jest niezależne od wielkości? Innymi słowy, należy docenić, czy możesz wymienić swoje opcje w odpowiedzi, aby każdy mógł je wykorzystać.
XavierStuvw
Możesz także spojrzeć na minimalny kąt w dowolnym elemencie siatki. Chodzi o to, że chce być tak duży, jak to możliwe
KyleW,

Odpowiedzi:

4

Jak powiedzieli @Nicoguaro i @Paul w komentarzach do pytania, istnieje wiele sposobów na zrobienie tego rodzaju rzeczy i nie jestem pewien, czy istnieje jedno „najlepsze” podejście.


Na podstawie przeglądu recenzji Jonathana Richarda Shewchucka z Berkley odpowiedź brzmi:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Proszę odnieść się do oryginalnego dokumentu (wersja 31/12/2002) dla symboli, terminologii, cech specjalnych i ewentualnie innych (np. Czworościanów). Rozdział 6 dotyczy miar jakości. Dokument, do którego prowadzi link, jest wersją rozszerzoną, a na stronie JRS znajduje się również skrócona wersja.


Osobiście jestem fanem metryki „długość objętości”. Jest to dobry solidny wskaźnik skalarny (izotropowej) jakości simpleks i jest tani w obliczeniach. W dwóch wymiarach:

a=433Aerms2

gdzie to podpisany obszar trójkąta, ato średnia-kwadratowa długość krawędzi. Idealne elementy osiągają wartość , która zmniejsza się do zera wraz ze wzrostem zniekształceń. Elementy odwrócone o odwróconej orientacji mają .Aermsa=1a<0

Aby ocenić jakość nieustrukturyzowanej triangulacji, typowe jest spojrzenie na histogramy takich wskaźników jakości elementu. Istnieje wiele implementacje takich rzeczy tam, ale jedna prosta MATLABkodu baza kopalni jest tutaj .

Oprócz wyników oceny objętości, domyślnie obliczane są również histogramy kątów elementu i stopnia wierzchołków.

Darren Engwirda
źródło
Dlaczego jesteś fanem tych danych? Czy dobrze przewidziałeś dokładność symulacji wykonanych za pomocą siatek?
BrunoLevy
@BrunoLevy: Cóż, jako prosty „domyślny” wybór dla simpleksów: solidnie uogólnia na wyższe wymiary, jest tani w obliczeniach, jest dobrze uwarunkowany numerycznie, zapewnia wskaźnik „splątania” re. orientacja i jest prostym wskaźnikiem „tylko geometrii”, zgodnie z pytaniem. Czy to dobry wskaźnik jakości symulacji? To zależy od tego, co robisz! Jeśli jesteś zainteresowany siatkami izotropowymi, powiedziałbym, że tak. Wysoko zależne od kierunku konfiguracje anizotropowe, to nie, nie bezpośrednio, chociaż w takich przypadkach można go nadal używać po odpowiedniej transformacji współrzędnych.
Darren Engwirda
1
Jest również płynny, więc możesz go uruchomić z domyślną dowolną formułą Lagrangian-Eulerian. Przy niewielkim wysiłku możesz uogólnić go na siatki anizotropowe.
likask
@likask: Tak, dobra uwaga - może być dobrą funkcją kosztów wygładzania i optymalizacji siatki.
Darren Engwirda
Dodałem fragment pracy Shewcucka, który rozszerza zakres odpowiedzi Darrena. To także podsumowuje kilka komentarzy. Dziękujemy wszystkim współtwórcom tego postu.
XavierStuvw
4

Nie sądzę, że istnieje ogólna odpowiedź na to pytanie , ponieważ wszystko zależy od zamierzonego zastosowania siatki. Na przykład, jeśli wykonujesz obliczeniową dynamikę płynów, możesz chcieć mieć siatkę, która jest wyjątkowo anizotropowa w pobliżu warstwy granicznej. Teraz, jeśli wykonujesz elektromagnetyczne obliczenia, najlepsza siatka będzie prawdopodobnie zupełnie inna.

W literaturze istnieje wiele różnych definicji kryterium „jakości siatki”. Większość z nich faworyzuje siatki z trójkątami, które są jak najbardziej równoboczne. Można również wspomnieć o pomiarze maksymalizacji najmniejszego kąta (realizowanego przez triangulację Delaunaya dla ustalonego zestawu punktów). Jest to uzasadnione analizą Jonathana Shewchuka wspomnianą w jednym z komentarzy, która wiąże ten kąt z liczbą warunkową macierzy sztywności dla równania Laplace'a dyskretyzowanego z elementami P1, ale znowu, w zależności od zamierzonego zastosowania, czyjąś dobrą siatką może być ktoś słaba siatka innego.

Nie sądzę, aby miało sens „kwantyfikowanie różnic wyłącznie w geometrii (arbitralne vs trójkąty równoboczne)”: przed zmierzeniem, czy trójkąty są równoboczne i zdecydowaniem, które „odchylenie względem równouprawnienia” jest najlepsze, należy dowiedzieć się, czy „trójkąty równoboczne” są tym, czego chcemy, i nie zawsze tak jest! Wszystko wynika z „interpolacji i uwarunkowań”, o których wspominasz. Tak, jak powiedziałeś „komplikuje to matematykę”, ale bez tego nie można odróżnić obiektywnych kryteriów dla danego zastosowania od kryteriów, które w ogóle nie mają sensu.

BrunoLevy
źródło