czy mogę ufać tej liczbowej potrójnej całce z Matlaba?

Ludzie informatyki:

I pierwotnie opublikowany na to pytanie w matematyce Stos Exchange i ktoś powiedział, że mogę dostać się „znacznie lepiej” odpowiedź tutaj:

Jestem nowicjuszem w metodach numerycznych i Matlabie. Próbuję oszacować następującą sumę dwóch potrójnych całek (można to oczywiście napisać prościej, ale nadal nie można jej ocenić symbolicznie (?)). Mam problem z uzyskaniem $\LaTeX$ do pracy tutaj, więc niechętnie podzieliłem go tutaj na części: chcę znaleźć sumę

\frac{2)}{((1 / 0,3) - 1)^{2)}} (\int_{1}^{1 / 0,3} \int_{1}^{r_{1}} \int_{0}^{r_{1} - r_{0}} {fa}_{1} (r_{0}, r_{1}, t) \exp (- \frac{(0,3)^{2)} t^{2)}}{4}) re t re r_{0} re r_{1}),

$\frac{2}{((1/0.3) - 1)^2}\left(\int_1^{1/0.3}\int_1^{r_1}\int_0^{r_1-r_0}F_1(r_0,r_1,t)\exp(-\frac{(0.3)^2 t^2}{4})\,dt\,dr_0\,dr_1 \right),$

\frac{2)}{((1 / 0,3) - 1)^{2)}} (\int_{1}^{1 / 0,3} \int_{1}^{r_{1}} \int_{r_{1} - r_{0}}^{r_{1} + r_{0}} {fa}_{2)} (r_{0}, r_{1}, t) \exp (- \frac{(0,3)^{2)} t^{2)}}{4}) re t re r_{0} re r_{1}),

$\frac{2}{((1/0.3) - 1)^2}\left(\int_1^{1/0.3}\int_1^{r_1}\int_{r_1-r_0}^{r_1+r_0} F_2(r_0,r_1,t)\exp(-\frac{(0.3)^2 t^2}{4})\,dt\,dr_0\,dr_1 \right),$

gdzie

F_{1} (r_{0}, r_{1}, t) = \frac{t^{2} r_{0}^{3} * (0.3)^{3}}{2 r_{1}^{3} \sqrt{π}}

$F_1(r_0,r_1,t)=\frac{t^2 r_0^3*(0.3)^3}{2r_1^3\sqrt{\pi}}$

F_{2} (r_{0}, r_{1}, t) = \frac{(0.3)^{3} π^{3 / 2} (r_{0} + r_{1} - t)^{4} (t^{2} + 2 t (r_{0} + r_{1}) - 3 (r_{1} - r_{0})^{2})^{2}}{288 (\frac{4}{3} π r_{0}^{3}) (\frac{4}{3} π r_{1}^{3})} .

$F_2(r_0,r_1,t)=\frac{(0.3)^3\pi^{3/2}(r_0+r_1-t)^4 (t^2+2t(r_0+r_1)-3(r_1-r_0)^2)^2}{288(\frac{4}{3}\pi r_0^3)(\frac{4}{3}\pi r_1^3)}.$

EDYCJA (2 marca 2013 r.): Ktoś odpowiedział, że zmusił Mathematica do wykonania całek symbolicznie. Właśnie próbowałem to zrobić (z uproszczonymi wersjami całek), a Mathematica mogła wykonać tylko dwie zewnętrzne z pierwszej, i zatrzymałem się na drugiej. Byłbym wdzięczny za pomoc. Oto co zrobiłem:

Próbowałem ocenić

przez

\int_{1}^{2)} \int_{1}^{r_{2)}} \int_{0}^{r_{2)} - r_{1}} \frac{r_{1}^{3)} t^{2)} \exp (- t^{2)})}{r_{2)}^{3)}} re t re r_{1} re r_{2)}

$\int_1^2 \int_1^{r_2} \int_0^{r_2-r_1} \frac{r_1^3 t^2 \exp(-t^2)}{r_2^3}\,dt\,dr_1\,dr_2$

Zintegruj [r1 ^ 3 / r2 ^ 3 * t ^ 2 * Exp (-t ^ 2), {t, 0, r2 - r1}, {r1, 1, r2}, {r2, 1, 2}]

i Mathematica powraca (miałem problem z tutaj, ponieważ wynik jest długi. Zerwałem na dwa równania. jeśli ktoś zna dobry sposób na wyświetlenie tego, proszę mi powiedzieć): $\LaTeX$

\int_{1}^{2)} \frac{1}{64 r {2)}^{2)}} {mi}^{- 1 - r {2)}^{2)}} (2) {mi}^{2) r 2)} (25 + r 2) (19 + 2) r 2) (1 + r 2)))) -

$\int_1^2 \frac{1}{64r2^2} e^{-1-r2^2}(2e^{2r2}(25+r2(19+2r2(1+r2)))-$

{mi}^{1 + r {2)}^{2)}} (32 r 2) (2) + r {2)}^{2)})) + \sqrt{π} (11 + 4 r {2)}^{2)} (9 + r {2)}^{2)})) Erf [1 - r 2)]) re r 2)

$e^{1+r2^2}(32r2(2+r2^2)) +\sqrt{\pi}(11+4r2^2(9+r2^2))\operatorname{Erf}[1-r2])\,dr2.$

Potem próbowałem ocenić

\int_{1}^{2)} \int_{1}^{r_{2)}} \int_{r_{2)} - r_{1}}^{r_{2)} + r_{1}} \dots

$\int_1^2\int_1^{r_2}\int_{r_2-r_1}^{r_2+r_1} \ldots \qquad \qquad \qquad$

\dots \frac{\exp (- t^{2)}) (r_{1} + r_{2)} - t)^{4} (t^{2)} + 2) t (r_{1} + r_{2)}) - 3) (r_{2)} - r_{1})^{2)})^{2)}}{r_{1}^{3)} r_{2)}^{3)}} re t re r_{} re r_{2)}

$\ldots\frac{\exp(-t^2)(r_1+r_2-t)^4(t^2+2t(r_1+r_2)-3(r_2-r_1)^2)^2}{r_1^3 r_2^3}\,dt\,dr_\,dr_2$

za pomocą

Zintegruj [(r1 + r2 - t) ^ 4 * (t ^ 2 + 2 * t * (r1 + r2) - 3 * (r2 - r1) ^ 2) ^ 2 * Exp [-t ^ 2] / r1 ^ 3 / r2 ^ 3, {r2, 1, 2}, {r1, 1, r2}, {t, r2-r1, r2 + r1}]

właśnie teraz, a Mathematica nie odpowiedziała po upływie około pół godziny (ale mam teraz problemy z siecią komputerową i mogą być winni).

[KONIEC EDYCJI 2 MARCA]

$0.007164820144202$

Wiem, że Matlab jest dobrym oprogramowaniem, ale słyszałem, że trudne są dokładne potrójne całki numeryczne, a matematycy powinni być sceptyczni, dlatego chcę w jakiś sposób zweryfikować dokładność tej odpowiedzi. Całki podają oczekiwaną wartość określonego eksperymentu (jeśli ktoś chce, mogę edytować to pytanie, aby opisać eksperyment): zaimplementowałem eksperyment w Matlabie, używając odpowiednio losowo wygenerowanych liczb, milion razy, i uśredniłem wyniki. Powtórzyłem ten proces cztery razy. Oto wyniki (przepraszam, jeśli niewłaściwie użyłem słowa „rozprawa”):

$0.007133292603256$

$0.007120455071989$

Trial 3: $0.007062595022049$

Trial 4: $0.007154940168452$

Trial 5: $0.007215000289130$

Chociaż w każdej próbie wykorzystano milion próbek, wartości symulacji zgadzają się tylko w pierwszej znaczącej cyfrze. Nie są wystarczająco blisko siebie, aby ustalić, czy potrójna całka numeryczna jest dokładna.

Czy ktoś może mi więc powiedzieć, czy mogę zaufać wynikowi „potrójnego kwadratu” i pod jakimi warunkami ogólnie można mu ufać?

Jedną z sugestii, które otrzymałem na Math Stack Exchange, było wypróbowanie innego oprogramowania, takiego jak Mathematica, Octave, Maple i SciPy. Czy to dobra rada? Czy ludzie faktycznie wykonują prace numeryczne w Mathematica i Maple? Octave jest rodzajem klonu Matlaba, więc czy mogę założyć, że używa tych samych algorytmów integracji? Jeszcze nie słyszałem o SciPy i doceniłbym wszelkie opinie na jego temat.

AKTUALIZACJA: Ktoś z Math Stack Exchange zrobił to w Maple i dostał $0.007163085468$ . Jest to zgoda na trzy znaczące liczby. To dobry znak.

Byłbym także wdzięczny za sugestie, jak wprowadzić długie, wieloliniowe wyrażenie $\LaTeX$ w stosie wymiany. Czy możesz tutaj użyć środowiska „wyrównanego”? Próbowałem i nie mogłem tego uruchomić.

matlab Stefan Smith
źródło

Twoje wyniki symulacji są całkowicie zgodne z wartością liczbową zwracaną przez Matlab: ich średnią z

0.00713726

$0.00713726$ jest tylko

- 1.11

$-1.11$ standardowe błędy mniejsze niż zwracane przez Matlaba. FWIW, Mathematica powraca

0.00716308537 \dots

$0.00716308537\ldots$ . Może także symbolicznie oceniać te całki pod względem wielomianów i funkcji błędów.

whuber

@whuber Thanks. Mógłbym przysiąc, że próbowałem symbolicznie w Maple i Maple nie mógł tego zrobić. Spróbuję ponownie w Maple, a jeśli to nie zadziała, spróbuję w Mathematica. BTW, zrobiłem podobną całkę w Maple i dostałem ogromną symboliczną odpowiedź. Wydawało się, że jest to suma i różnica bardzo dużych liczb, których suma była dość mała. Podejrzewam, że błąd zaokrąglenia był prawdopodobny w ostatecznej odpowiedzi. Czy w takim problemie należy użyć symbolicznej odpowiedzi, czy po prostu wykonać całkę numerycznie?

Stefan Smith

Zalety odpowiedzi symbolicznych stanowią kombinacje funkcji, które (często) można skutecznie obliczyć z dowolną dokładnością. Zwykle również symboliczne rozwiązanie nadaje się do szybkiego ponownego obliczenia, gdy parametry są zmienne. Z tych powodów często warto szukać symbolicznego rozwiązania.

whuber

@ whuber: Próbowałem wykonać kilka zasadniczo równoważnych całek (zmieniając niektóre stałe i usuwając niektóre stałe multiplikatywne) w Mathematica, a Mathematica mogła wykonać tylko dwie zewnętrzne całki pierwszej całki i wydaje się, że utknęła na drugiej. Kod i wyniki opublikowałem powyżej.

Stefan Smith

Re Edycja z 2 marca: Poprzez zredukowanie potrójnej całki symbolicznie do pojedynczej całki (w pierwszej połowie całek) osiągnąłeś wiele. Integrand zachowuje się bardzo ładnie i może być zintegrowany numerycznie z bardzo wysoką precyzją w ułamku sekundy.

whuber

czy mogę ufać tej liczbowej potrójnej całce z Matlaba?

Odpowiedzi: