Optymalnie dopasowany filtr bez ISI

12

Biorąc pod uwagę filtr użyty do kształtowania sygnału cyfrowego, i biorąc pod uwagę, że nie chcemy, aby kombinacja filtrów powodowała jakikolwiek ISI, jaki „dopasowany” filtr zmaksymalizuje SNR?q ( x )p(x)q(x)

Dopasowane filtry są używane w komunikacji cyfrowej, aby zmaksymalizować stosunek sygnału do szumu. Często do ukształtowania sygnału wykorzystywany jest filtr z uniesionym korzeniem, ponieważ jest on ograniczony w przestrzeni częstotliwości, a ten sam filtr może być zastosowany do odbieranego sygnału w celu poprawy stosunku sygnału do szumu (SNR) bez powodowania inter-symbolu -interferencja (ISI).

Jeśli jednak do ukształtowania sygnału zostanie użyty mniej optymalny filtr, wówczas użycie tego samego filtra w odbiorniku może wprowadzić ISI. Nie jest od razu oczywiste, jaki jest najlepszy wybór filtra po stronie odbiorczej.

Rozumiem, że SNR jest maksymalizowany przez maksymalizację , więc chcę to zmaksymalizować, jednocześnie spełniając ograniczenie, że filtry nie powodują ISI ( dla , jest liczbą całkowitą, jest szerokością symbolu). p ( x ) q ( x ) = 0 x = k T k Tp(x)q(x)dxp(x)q(x)=0x=kTkT

Prawdopodobnie można to zrobić, rozwiązując równanie Eulera-Lagrange'a z pewnymi mnożnikami Lagrange'a dla ograniczeń. Czy istnieje prostszy sposób, czy popełniam błąd lub podążam w złym kierunku?

gyroidben
źródło
Czy zakładasz modulację liniową (np. PSK lub prosty PCM)?
Mark Borgerding

Odpowiedzi:

7

W przypadku modulacji liniowej na kanale AWGN z symbolami możliwymi do zastosowania (bardzo częsty przypadek) optymalnym podejściem jest prawdziwe użycie filtra dopasowanego do kształtu fali symbolu, tj .:

q(x)=p(x)

Zastosowanie dopasowanego filtra zapewnia optymalny stosunek sygnału do szumu na wyjściu filtra w każdej chwili decyzyjnej. Łatwo to zauważyć, gdy pamiętasz, że dopasowany filtr działa jak przesuwający się korelator krzyżowy między swoim sygnałem wejściowym a oczekiwanym przebiegiem symbolu, korelując oba przy wszystkich możliwych opóźnieniach. W optymalnych momentach decyzyjnych odpowiedź impulsowa filtra (zwykle skalowana w celu uzyskania energii jednostkowej) dokładnie pokrywa się z transmitowanym symbolem, analogicznie do warunku zerowego opóźnienia w operacji korelacji krzyżowej. Przy tej wartości czasu, wyjście filtru jest równa ilości energii w odebranym symbolu, skalowany przez współczynnik zależny od danych (np BPSK, dopasowany filtr by wyjściowy i - e s ) plus składowa zakłóceń.EsEs

Energia szumu na wyjściu filtra podczas chwili próbkowania nie jest zależna od kształtu w czasie odpowiedzi impulsowej filtra, tylko całkowita energia odpowiedzi impulsowej (jak wspomniano wcześniej, zazwyczaj jedność). Dlatego stosunek sygnału do szumu jest maksymalizowany przez maksymalizację ilości energii sygnału na wyjściu filtra w momencie próbkowania. Dokonaliśmy tego, wybierając filtr odbiornika, który ma być dopasowany do kształtu symbolu, ponieważ kształt fali symbolu ma maksymalną korelację z odpowiedzią impulsową filtra, która ma identyczny kształt. Zatem dopasowany filtr zapewnia maksymalny SNR dla przypadku kanału AWGN.

Z tą ręką machania ręką na uboczu (na pewno można to osiągnąć z większym rygorem matematycznym, ale jestem inżynierem i jest to bezpłatna usługa; jeśli chcesz zagłębić się w szczegóły, sprawdź dowolną teorię komunikacji cyfrowej tekst), możesz myśleć, że zapomniałem, że zapytałeś o nieidealny przypadek ISI. Nie obawiaj się, bo twierdzę, że jeśli znasz kształt przesyłanego impulsu, dopasowany filtr jest nadal optymalnym wyborem dla kanału AWGN.

p(x)q(x)

Oczywiście zazwyczaj nie wiadomo z pewnością, jakie były poprzednie kilka symboli; jeśli tak, to możesz mieć wystarczająco wysoki współczynnik SNR, że twój ISI można zlekceważyć. W bardziej interesującym przypadku nie można przyjąć takiego założenia. Zamiast tego stosuje się metodę wykrywania sekwencji o najwyższym prawdopodobieństwie z wykorzystaniem algorytmu Viterbi. Proces ten nazywa się wyrównywaniem Viterbiego , ponieważ w tym modelu traktujesz ISI indukowany przez kształt impulsu jak kod splotowy o miękkiej wartości, który jest stosowany do kształtu fali nadawania. Czas trwania ISI w korektorze Viterbi określa wymaganą liczbę stanów algorytmu, podobną do długości ograniczenia w kodzie splotowym.

Takie podejście jest często stosowane w systemach o nieoptymalnym kształcie impulsu, który zanotowałeś; jednym godnym uwagi przykładem jest GSM (który wykorzystuje kształt impulsu Gaussa, który rozciąga się na wiele przedziałów symboli). Jedno świetne odniesienie na ten temat zostało opublikowane przez Sklar w 2003 roku:

B. Sklar, „Jak nauczyłem się kochać kratę”, IEEE Signal Processing Magazine, s. 87–102, maj 2003

Jason R.
źródło
OK, spróbuję sparafrazować to, aby upewnić się, że rozumiem: W każdej praktycznej sytuacji najlepiej jest użyć dopasowanego filtra, ponieważ zawsze możesz pozbyć się ISI z wyrównaniem Viterbi.
gyroidben
Tak, zgadzam się z twoim podsumowaniem.
Jason R
+1 za świetną odpowiedź merytoryczną. Uważam również, że twoja odpowiedź jest wysoce techniczna, ale także czytelna. Gdybym mógł, zrobiłbym jeszcze jedną +1 za świetne pisanie. Do twojej wiadomości, myślę, że musisz przeczytać artykuł źródłowy, aby zrozumieć matematykę / teorię niskiego poziomu.
Trevor Boyd Smith
@JasonR Czy nie trzeba znać apriori liczby uderzeń w kanale, zanim będą mogli zastosować algorytm viterbi?
Spacey,
@Mohammad: Tak, aby zastosować algorytm Viterbi, potrzebujesz modelu, w jaki sposób odbierany sygnał został uszkodzony. W przypadku kanału wielościeżkowego trzeba by zastosować technikę szacowania kanału, aby uzyskać te informacje. Sytuacja, do której odnosiło się to pytanie, nie była związana z wieloma ścieżkami, ale z modulacjami o kształtach impulsów, które wykraczają poza jeden przedział symboli, indukując w ten sposób ISI. Zakłócenia te są ustalane przez konstrukcję systemu, więc są znane i można je skompensować jak opisano powyżej.
Jason R