Zrozumienie podstaw filtrowania dla wielu użytkowników

Najpierw odpowiem na pytanie 2 i mam nadzieję, że pomoże to wyjaśnić, co się dzieje z pytaniem 1.

Podczas próbkowania sygnału w paśmie podstawowym pojawiają się ukryte aliasy sygnału w paśmie podstawowym przy wszystkich liczbach całkowitych częstotliwości próbkowania, jak pokazano na poniższym obrazku. Asymetryczny sygnał pasma podstawowego z aliasami Pełny obraz jest oryginalnym sygnałem pasma podstawowego, a aliasy są reprezentowane przez przerywane obrazy. Wybrałem sygnał asymetryczny (tj. Złożony), aby pomóc wykazać inwersję, która zachodzi przy nieparzystych wielokrotnościach częstotliwości próbkowania.

Możesz zapytać: „Czy aliasy naprawdę istnieją?” To trochę filozoficzne pytanie. Tak, w sensie matematycznym istnieją, ponieważ wszystkie aliasy (w tym sygnał pasma podstawowego) są nierozróżnialne.

Podczas próbkowania poprzez wstawianie zer pomiędzy oryginalne próbki, efektywnie zwiększa się częstotliwość próbkowania o częstotliwość próbkowania. Jeśli więc próbkujesz dwa razy (umieszczając jedno zero między każdą próbką), zwiększasz częstotliwość próbkowania i częstotliwość Nyquista o współczynnik 2, co daje obraz poniżej. Upsamplowany asymetryczny sygnał pasma podstawowego

Jak widać, jeden z ukrytych aliasów na wcześniejszym obrazie stał się teraz jawny. Jeśli FFT próbek, pojawi się. Niejasny dowód, że transformacja DFT nie zmienia się zasadniczo, podano poniżej.

Teraz, gdy masz dwa wyraźne aliasy, jeśli chcesz po prostu alias pasma podstawowego, musisz filtr dolnoprzepustowy, aby pozbyć się innego aliasu. Czasami jednak ludzie używają innych aliasów, aby zrobić dla nich modulację. W takim przypadku zastosowałbyś filtr górnoprzepustowy, aby pozbyć się sygnału pasma podstawowego. Mam nadzieję, że to odpowiada na pytanie 2.

Pytanie 1 jest w zasadzie odwrotnością pytania 2. Załóżmy, że jesteś już w sytuacji pokazanej na drugim obrazku. Istnieją dwa sposoby uzyskania żądanego sygnału pasma podstawowego. Pierwszym sposobem jest filtr dolnoprzepustowy (w ten sposób pozbywający się wyższego aliasu), a następnie dziesiątkowanie dwa razy. To prowadzi do zdjęcia nr 1.

Drugi sposób to filtr górnoprzepustowy (pozbywanie się aliasu pasma podstawowego), a następnie dziesiątkowanie dwa razy. Powodem tego jest to, że celowo dopasowujesz sygnał do pasma podstawowego, a tym samym znów dostajesz zdjęcie nr 1.

Dlaczego chcesz to zrobić w ten sposób? Ponieważ w większości sytuacji sygnały nie będą takie same, więc możesz wybrać żądany sygnał lub wykonać je oba oddzielnie.

Jeśli studiujesz przetwarzanie wieloprocesorowe, bardzo polecam Frederic Harris „Przetwarzanie sygnałów wielorakich dla systemów komunikacyjnych”. Wykonuje naprawdę dobrą robotę, tłumacząc teorię, nie zaniedbując matematyki i udzielając również wielu praktycznych porad.

EDYCJA: Celowe próbkowanie sygnału z częstotliwością mniejszą niż częstotliwość Nyquista nazywa się undersamplingiem . Poniżej znajduje się moja próba matematycznego wyjaśnienia, dlaczego FFT nie zmienia się podczas próby. „x [n]” to oryginalny zestaw próbek, „u” to współczynnik próbkowania w górę, a „x '[n]” to próbka w zestawie.

\begin{array}{rcl} X [k] & = & \sum_{n = 0}^{N. - 1} x [n] {mi}^{- ja 2) π k n / N.} \\ X^{'} [k] & = & \sum_{n = 0}^{u N. - 1} x^{'} [n] {mi}^{- ja 2) π k n / u N.}, { & x & ^{'} [n] = 0, n \neq m u, m \in (0 .. N. - 1) \\ x & ^{'} [n] = x [n / u], n = m u \\ = & \sum_{n = 0}^{N. - 1} x^{'} [u n] {mi}^{- ja 2) π k u n / u N.} \\ = & \sum_{n = 0}^{N. - 1} x [n] {mi}^{- ja 2) π k n / N.} \\ = & X [k] \end{array}

$\begin{eqnarray*} X[k] &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ X'[k] &=& \sum_{n=0}^{uN-1} x'[n]e^{-i2\pi kn/uN} , \{ &x&'[n] = 0, n \neq mu, m \in (0..N-1)\\ &x&'[n] = x[n/u], n = mu\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x'[un]e^{-i2\pi kun/uN}\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ &=&X[k] \end{eqnarray*}$

Przepraszamy za brzydkie formatowanie. Jestem Laobex noob.

EDYCJA 2: Powinienem zauważyć, że DFT x [n] i x '[n] nie są naprawdę identyczne. Częstotliwość próbkowania jest wyższa, co, jak wyjaśniłem we wcześniejszej części odpowiedzi, powoduje „odsłonięcie” aliasów. Próbowałem wskazać na swój nie-matematyk sposób, że DFT są, oprócz częstotliwości próbkowania, takie same.

Jim Clay
źródło

To fantastyczna odpowiedź. Dziękuję Ci. Rzeczywiście bardzo jasne.

learnvst

Treść w Twojej edycji jest niepoprawna. Jeśli próbkujesz sygnał przez wstawienie zer między próbkami, wówczas DFT sygnału wynikowego nie jest taka sama jak DFT oryginalnego sygnału; widmo sygnału z wypełnieniem zerowym równe oryginalnemu, skompresowane częstotliwościowo i powtórzone przez współczynnik próbkowania w górę

U

$U$ .

Jason R

@JasonR Uważam, że edycja jest zasadniczo poprawna, chociaż nie zauważyłem, że częstotliwość próbkowania zmienia się, co samo w sobie jest ważną zmianą. Uważam, że różni nas to, że myślisz o tym ze znormalizowanej perspektywy, co sprawia, że to, co się dzieje, wygląda jak „kompresja” i „powtórzenie”. Jednak, gdy próbowałem wyjaśnić w oryginalnej części mojej odpowiedzi, innym sposobem na to jest to, że po prostu zwiększamy częstotliwość próbkowania, co powoduje ujawnienie innych aliasów.

Jim Clay

@JasonR Jeśli jednak popełniłem błąd w równaniach, proszę o zwrócenie mi uwagi i chętnie go naprawię. Dzięki.

Jim Clay

Zrozumienie podstaw filtrowania dla wielu użytkowników

Odpowiedzi: