- Dlaczego oznacza, że system LTI nie może generować nowych częstotliwości?
- Dlaczego jeśli system generuje nowe częstotliwości, to nie jest to LTI?
źródło
Jedną z ostatecznych cech systemów LTI jest to, że nie mogą one generować żadnych nowych częstotliwości, które nie są jeszcze obecne na ich wejściach. Należy pamiętać, że w tym kontekście częstotliwość odnosi się do sygnałów tego typu lub które mają nieskończony czas trwania i są również nazywane funkcjami własnymi układów LTI (specjalnie tylko dla złożonego wykładniczego) i których transformaty Fouriera CT są wyrażane przez funkcje impulsowe w dziedzinie częstotliwości jako lub odpowiednio
Jednym ze sposobów zobaczenia, dlaczego tak jest, jest obserwacja CTFT, , wyniku , co daje dobrze znana relacja tylko wtedy, gdy system jest LTI (i tak naprawdę stabilny , więc tak istnieje).
(to znaczy
Z krótkiej myśli, kierując się prostym graficznym wykresem i używając powyższej właściwości mnożenia, widać, że region częstotliwości wsparcia (zestaw częstotliwości, dla których jest różna od zera) wyniku jest podane przez przecięcie regionów wsparcia i wejść i pasmo przenoszenia systemu LTI:
A ze zbioru algebry wiemy, że jeśli następnie i . Oznacza to, że przecięcie jest zawsze mniejsze lub równoważne z tym, co jest przecinane. Dlatego region wsparcia dla będzie mniejsze lub co najwyżej równe poparciu dla . Dlatego na wyjściu nie będą obserwowane żadne nowe częstotliwości.
Ponieważ ta właściwość jest warunkiem koniecznym do bycia systemem LTI , dlatego każdy system, który go nie posiada, nie może być LTI.
Możesz zrobić prosty argument algebraiczny, biorąc pod uwagę przesłankę, którą podałeś. Gdyby:
gdzie oznacza widmo sygnału wejściowego i ) to odpowiedź częstotliwościowa systemu, więc oczywiste jest, że jeśli istnieje w sygnale wejściowym, dla którego , następnie także; nie ma czynnika które można pomnożyć, aby uzyskać niezerową wartość.
Powiedziawszy to, ustalenie prawdziwości założenia, które zacząłem powyżej dla systemów LTI, zajmuje trochę pracy. Jeśli jednak założymy, że to prawda, to fakt, że system LTI nie może wprowadzić żadnych nowych komponentów częstotliwości do swojego wyjścia, wynika bezpośrednio.
Jeśli określona częstotliwośćωabs nie jest obecny w naszych danych wejściowych, X(ωabs) = 0 . Ponieważ 0 przestrzega multiplikatywnej tożsamości∀ x ∈ R , 0 ⋅ x = 0 , Y(ωabs) = 0 . Zatem częstotliwośćωabs nie występuje w sygnale wyjściowym.
Powiedzmy, że nasz wkład tox ( t ) = cos( t ) . Jeśli założymy, że nasz system może generować nowe częstotliwości, możliwe jest uzyskanie mocy wyjściowejy( t ) = cos( 2 ⋅ t ) . Ponieważ nie możemy znaleźć stałychdo1,do2) takie, że y( t ) =do1sałata( t -do2)) , nasz system nie jest LTI.
źródło
System LTI jest ukośny przez czyste częstotliwości . Sinus / cosinus to wektory własne układu liniowego. Innymi słowy, każde pojedyncze niezerowe wejście sinus lub cosinus (lub złożony cisoid) ma wyjście sinusoidalne lub cosinusowe o tej samej częstotliwości dokładnie (ale amplituda wyjściowa może zniknąć).
Jedyne, co może się zmienić, to ich amplituda lub faza. Dlatego jeśli nie masz sinusoidy o danej częstotliwości na wejściu, nie otrzymujesz nic (zero) przy tej częstotliwości na wyjściu.
Na drugie pytanie odpowiada odpowiedź lub regula falsi: ifZA⟹b jest prawdą, tak jest b¯¯¯¯⟹ZA¯¯¯¯ . Jeśli system jest LTI, nie generuje nowych częstotliwości. Jeśli system generuje nowe częstotliwości, nie jest to LTI.
źródło