MATLAB: i skalowanie

W MATLAB wyjścia funkcji ffti / lub ifftfunkcji często wymagają dodatkowego przetwarzania przed rozważeniem ich do analizy.

Słyszałem wiele różnych opinii na temat tego, co jest prawidłowe:

• skalowanie

  Mathworks stwierdza, że ffti ifftfunkcje są oparte na następujących równaniach:

  $$\begin{align} X[k] &= \frac{1}{1} \cdot \sum_{n=1}^{N} x[n] \cdot e^{\frac{-j \cdot 2 \pi \cdot (k-1) \cdot (n-1)}{N}}, \quad\textrm{where}\quad 1\leq k\leq N\\ x[n] &= \frac{1}{N} \cdot \sum_{k=1}^{N} X[k] \cdot e^{\frac{+j \cdot 2 \pi \cdot (k-1) \cdot (n-1)}{N}},\quad \textrm{where}\quad 1 \leq n\leq N \end{align}$$

• Skalowanie według długości sygnału

  Moi rówieśnicy zazwyczaj skalują dane według natychmiast po przetworzeniu . (Nie uwzględniamy surowych danych przed skalowaniem).$\small \frac{1}{N}$fft
fft

  %% Wykonaj fft
  
  X_f = fft (x, n_sample, 1) / n_sample; 
  % fft musi być znormalizowany przez liczbę próbek w danych.
  % Ta konwencja została ustalona przez programistę (Mathworks).

  Czy to jest poprawne?

  1. Jeśli tak, to dlaczego ifftfunkcja MATLAB oczekuje, że nie skalowaliśmy już o ?$1/N$
  2. Czy istnieje ifftfunkcja MATLAB lub opcja funkcji, która nie skaluje się automatycznie o ?$1/N$

  Alternatywnie, czy istnieje lepsza konwencja, której powinniśmy używać przy umieszczaniu ? Na przykład umieszczenie w zamiast zamiast , lub umieszczenie w obu równaniach, zamiast ?1 / N 1 / $1/N$$1/N$fftifft 1/$1/\sqrt{N}$$1/N$

• Skalowanie według okresu próbkowania

  Słyszałem, że funkcje ffti ifftzakładają, że okres próbkowania , i że aby funkcje były prawdziwe, należy zastosować następujące zasady:$T_{\rm sampling} = 1/f_{\rm sampling} = 1$

$$\begin{align} X[k] &= \frac{1}{T_{\rm sampling}} \cdot \sum_{n=1}^{N} x[n] \cdot e^{\frac{-j \cdot 2 \pi \cdot (k-1) \cdot (n-1)}{N}},\quad \textrm{where}\quad 1 \leq k \leq N\\ x[n] &= \frac{T_{\rm sampling}}{N} \cdot \sum_{k=1}^{N} X[k] \cdot e^{\frac{+j \cdot 2 \pi \cdot (k-1) \cdot (n-1)}{N}},\quad\textrm{where}\quad 1 \leq n \leq N \end{align}$$

Zobacz linki:

• Link 1 (patrz komentarz do dr. Seisa do Matta Szelistowskiego)
• Link 2 (patrz odpowiedź Ricka Rossona vs. doktora Seisa)
• Link 3 (patrz komentarz Matta (Wiadomość: 7/16) i komentarz Pooryi (14/16)
• Link 4 (patrz str. 10, slajd [1,1])
• Link 5 (patrz str. 8 + 9) [wygląda na to, że używa odwrotnej konwencji dla fft i ifft].

Czy to prawda?

Jestem szczególnie poruszony, ponieważ nie mogę znaleźć w Wikipedii żadnych równań DFT ani DTFT, które obejmowałyby okres próbkowania.

To, czy przeskalować FFT do przodu o 1 / N, zależy od tego, jaki wynik chcesz do dalszej analizy: energii (zachowanie tożsamości Parseval) lub amplitudy (pomiar wysokości lub woltów itp.).

Jeśli chcesz mierzyć lub analizować energię, nie skaluj o 1 / N, a dłuższy sinusoid o tej samej amplitudzie da większy wynik FFT, proporcjonalny do większej energii dłuższego sygnału.

Nieco częściej, jeśli chcesz zmierzyć lub przeanalizować amplitudy, a następnie uzyskać dłuższą sinusoidę (a więc z większą całkowitą energią przy dokładnie tej samej amplitudzie), aby uzyskać w przybliżeniu ten sam wynik FFT jako krótszy sygnał, musisz zmniejszyć Sumowanie FFT przez stosunek proporcjonalny do długości. Współczynnikiem może być referencyjna długość / N, która czasami wynosi 1 / N, jeśli wzmocnienie wejściowe systemu wynosi 1,0 dla dowolnych wymiarów lub jednostek, w tym wymiarów przedziału czasowego, które wybierzesz do dalszej analizy. Musisz proporcjonalnie zmniejszyć, ponieważ DFT jest sumą: im więcej zsumujesz podobne elementy, tym większy wynik.

Więc. Energia lub amplituda. Które chcesz?

Jeśli teraz przeskalujesz w dół do przodu FFT, nie powinieneś skalować odwrotności, aby IFFT (FFT (x)) == x. Lub odwrotnie.

Wydaje mi się, że 1 / sqrt (N) dla skalowania jest albo w przypadku, gdy potrzebna jest formalna symetria dla jakiegoś dowodu, albo w przypadku budowania jakiegoś potoku sprzętowego, w którym opóźnienie i / lub liczba jednostek / bram arytmetycznych dla DFT i ponieważ IDFT musi być identyczny. Ale nie można uzyskać dobrego bezpośredniego pomiaru energii ani amplitudy dla typowego rodzaju analizy inżynierskiej.

Konwencja skalowania stosowana przez Matlab jest powszechna w DSP. Możesz także użyć jednolitego DFT, w którym zarówno DFT, jak i IDFT są skalowane współczynnik . Możesz również użyć współczynnika1/Ndla DFT i współczynnika1dla IDFT. Tak długo, jak jesteś konsekwentny, tak naprawdę nie ma to znaczenia (oprócz rozważań numerycznych, szczególnie gdy używasz implementacji o stałym punkcie). Nie ma więc „lepszych” konwencji, są po prostu „konwencje” i wystarczy uzgodnić, której z nich używasz.$1/\sqrt{N}$$1/N$$1$

Komentarz

% fft musi być znormalizowany przez liczbę próbek w danych.
% Ta konwencja została ustalona przez programistę (Mathworks).

jest źle. Nikt nie mówi, że musisz znormalizować wynik FFT. Jeśli chcesz, możesz to zrobić.

Również FFT nie wie nic o okresie pobierania próbek zakładać . Należy zauważyć, że DFT można stosować do danych, które z natury są dyskretne bez konieczności próbkowania. W zależności od danych i tego, co chcesz zrobić z wynikiem, musisz odpowiednio wziąć pod uwagę T. Na przykład, jeśli chcesz użyć DFT (zaimplementowanej przez FFT) do przybliżenia ciągłej transformacji Fouriera, otrzymasz następujące wyrażenie:$T$$T$

$$X\left(\frac{2\pi k}{NT}\right)\approx T\sum_{n=0}^{N-1}x(nT)e^{-j2\pi kn/N},\quad 0\le k< N\tag{1}$$

gdzie jest okresem próbkowania, N jest długością DFT, x ( t ) jest sygnałem ciągłego czasu, a X ( ω ) jest jego ciągłą transformatą Fouriera. Prawa strona ( 1 ) to po prostu DFT z N próbek x ( t ) , skalowanych przez T , gdzie zakładamy, że odpowiednia część x ( t ) mieści się w zakresie t ∈ [ 0 , N T $T$$N$$x(t)$$X(\omega)$$(1)$$N$$x(t)$$T$$x(t)$$t\in [0,NT]$. Więcej szczegółów na temat używania DFT do aproksymacji ciągłej transformaty Fouriera można znaleźć w tej odpowiedzi .

zwłaszcza, że ​​jest to pytanie o konwencję, nie wzmocnię absurdalnej konwencji MATLAB i odpowiem tylko właściwą i właściwą konwencją lub konwencjami. tzn. indeksowanie MATLAB-a dla DFT nie jest poprawne i właściwe, ale jestem dość agnostyczny co do tego, która z trzech powszechnych konwencji skalowania.

ponadto nie ograniczam ani 0 ≤ k < N , mogą to być dowolne liczby całkowite, ponieważ jestem dość fascynujący fundamentalnym znaczeniem dyskretnej transformaty Fouriera: DFT i dyskretna seria Fouriera są jednym i podobnie. DFT odwzorowuje okresową sekwencję x [ n ] z okresem N na inną okresową sekwencję X [ k ] również z okresem N, a iDFT odwzorowuje ją z powrotem.$0 \le n < N$$0 \le k < N$$x[n]$$N$$X[k]$$N$

więc X [ k + N ] = X [ k

$$x[n+N] = x[n] \quad\quad \forall \ n \in \mathbb{Z}$$ $$X[k+N] = X[k] \quad\quad \forall \ k \in \mathbb{Z}$$

również splot kołowy w „dziedzinie czasu” ( ) lub „dziedzinie częstotliwości” ( X [ k ] ) jest zdefiniowany zgodnie ze wszystkimi konwencjami:$x[n]$$X[k]$

W [ k ] ⊛ X [ k ] ≜ N - 1 ∑ i

$$h[n] \circledast x[n] \triangleq \sum_{i=0}^{N-1} h[i] x[n-i] = \sum_{i=0}^{N-1} x[i] h[n-i]$$ $$W[k] \circledast X[k] \triangleq \sum_{i=0}^{N-1} W[i] X[k-i] = \sum_{i=0}^{N-1} X[i] W[k-i]$$

więc jedyną przewagą jednej konwencji nad drugą (przy założeniu, że obie konwencje są ważne) może być prostota wyrażania niektórych twierdzeń.

---

najczęstsza konwencja skalowania dla DFT:

$$\begin{align} \mathcal{DFT}\{x[n]\} & \triangleq X[k] \triangleq \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j 2\pi kn/N} \\ \mathcal{iDFT}\{X[k]\} & \triangleq x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \, e^{+j 2\pi kn/N} \\ \end{align}$$

has the advantage of simplicity regarding circular convolution in the "time domain"

$$\mathcal{DFT}\{h[n] \circledast x[n]\} = H[k] \cdot X[k]$$

but there is a scaling factor you have to worry about if you're convolving in the "frequency domain":

$$\mathcal{iDFT}\{W[k] \circledast X[k]\} = \frac{1}{N} \cdot w[n] \cdot x[n]$$

Parseval's theorem has a scaling factor to worry about too.

$$\sum_{n=0}^{N-1} \Big|x[n]\Big|^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \Big|X[k]\Big|^2$$

and the Duality theorem:

$$\mathcal{DFT}\{X[n] \} = N \cdot x[-k]$$ $$\mathcal{iDFT}\{x[k] \} = \frac{1}{N} \cdot X[-n]$$

---

the other common scaling convention for the DFT:

$$\begin{align} \mathcal{iDFT}\{X[k]\} & \triangleq x[n] \triangleq \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \, e^{+j 2\pi kn/N} \\ \mathcal{DFT}\{x[n]\} & \triangleq X[k] = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j 2\pi kn/N} \\ \end{align}$$

has the advantage of being a tiny bit closer, conceptually, to the Fourier series, where $e^{j \omega_k n} \triangleq e^{j (2\pi k/N) n}$ are the Fourier basis functions and $X[k]$ are the Fourier coefficients. so if you're looking at raw time-domain data, $x[n]$, and see a sinusoid with $k$ cycles in the buffer of $N$ samples and with (zero-to-peak) amplitude $A$, that would mean that $\Big|X[k]\Big| = \Big|X[-k]\Big| = \Big|X[N-k]\Big| = \frac{A}{2}$.

it also has more simplicity regarding circular convolution in the frequency domain

$$\mathcal{iDFT}\{W[k] \circledast X[k]\} = w[n] \cdot x[n]$$

but there is a scaling factor you have to worry about if you're convolving in the time domain:

$$\mathcal{DFT}\{h[n] \circledast x[n]\} = \frac{1}{N} \cdot H[k] \cdot X[k]$$

Parseval's theorem has a scaling factor to worry about too.

$$\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \Big|x[n]\Big|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} \Big|X[k]\Big|^2$$

and the Duality theorem:

$$\mathcal{DFT}\{X[n] \} = \frac{1}{N} \cdot x[-k]$$ $$\mathcal{iDFT}\{x[k] \} = N \cdot X[-n]$$

---

the unitary scaling convention for the DFT is identical in scaling with its inverse and preserves energy across the transform or inverse transform:

$$\begin{align} \mathcal{DFT}\{x[n]\} & \triangleq X[k] \triangleq \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-j 2\pi kn/N} \\ \mathcal{iDFT}\{X[k]\} & \triangleq x[n] = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] \, e^{+j 2\pi kn/N} \\ \end{align}$$

convolution in either time domain or frequency domain has the same scaling factor to worry about:

$$\mathcal{DFT}\{h[n] \circledast x[n]\} = \frac{1}{\sqrt{N}} \cdot H[k] \cdot X[k]$$

$$\mathcal{iDFT}\{W[k] \circledast X[k]\} = \frac{1}{\sqrt{N}} \cdot w[n] \cdot x[n]$$

but Parseval's theorem has no scaling factor to worry about.

$$\sum_{n=0}^{N-1} \Big|x[n]\Big|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} \Big|X[k]\Big|^2$$

nor does the Duality theorem:

$$\mathcal{DFT}\{X[n] \} = x[-k]$$ $$\mathcal{iDFT}\{x[k] \} = X[-n]$$

---